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无穷 数项级1.数项级数给定一个数列u2u3un
次相加un,称上式为nun叫做级数的一般项,n项和
∞
例
∞例∞例𝑛1∞2∞ 例 2𝑛−∞∞1𝑛=1𝑛+
例 (−
)=1
收敛 但是
调和级数发 𝑛+
(比较审敛法
(k0 ;
发散,则强级 . n(n例 n(n
limunl,n0l时
两个级数同时收敛或发散ll例3
ln
2 nln(11 解:
limn2ln ln(11)1ln(11)1
2收敛 D’alembert判别法 为正项级数,且limun1,
时当1;时.根值审敛法(Cauchy判别法 级数
nn
,注：时上述定理2例 判别级数2n1en
解 lim
(n1)2
1n
1e
ne en 收敛交错级un0n12,,
称为交错级数(Leibnitz判别法 un (n1,2,);limun0,则级数(1)n1un收敛定义:对任意项级数 绝对收敛
.sin 证
,n1
sinn4因此 sin
. 幂级axn
n
=
+𝑎1𝑥+
+⋯+𝑎𝑛 +Abel定理收敛例：1+𝑥+𝑥2+⋯+𝑥𝑛+⋯，当 <1时收敛，则收敛半径为： < 收
幂级Abel
=
+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥 +⋯+𝑎𝑛 +axn
an反之,若当
x幂级数都绝对收敛.,则对满足不等式x 收
例：1+𝑥+𝑥2+⋯+𝑥𝑛+⋯，当 <1时收敛，则收敛半径为： <axn*例6.
x3在x1 解：由Abelx3处绝对收敛，x1绝对收敛。例7.已 处条件收敛,问该级数收答 根据Abel定理可知,级数在收敛. 当≠0时
R1当＝0时 R当＝∞时
R0R
例8..求幂1解:R
n1n对端点x=1,级数为交错级 对端点x=－1,级数为发散 1x2x3xn
1
ex
1x
x3
sinx
(
(2n1)!
x2x x2
(1)n
n 设f(x)是周期为2的周期函数,它在f(x)1
x1 1 0x 1求S(0),S(S3S()的值 求
o 将f(x)展 解:(1)当xk,S(x) 1,S(3)f(x),S( 当xkS(x)11)0S(0S(20101
(1)sin3xdx
01sin4 0101
(1)cosnxdx
1cosnxd0 (n0,1,2,0101
(1)sinnxdx
1sin01cosnx
1cosnx 2
cosn
4
n 21(1)n
n0
当n135当n
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