版可自辑文稿-第六章不等式

第六章⇔*c*c**n⇒a>ncc2c若无c≠0这个条件，a>⇒a2>c2就是错误结论(c＝0时，取“＝”)． 1 D.解析：选 由性质知选

解析 ＝2＋1＜ 1

1 a0<a<x<b

11

mb bmmm

a a

b＋c答案 a＋c已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( 解析：选 ，即与 3的大小．与3

解

a>1时，a＋2>3当a<1时 3.

(1)(2014·太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(

“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>bc>d”D.

故④正确，故选C. 1 C．a＋b<2 2解析：选 ∵a>b>0，∴11，且|a|>|b|，a＋b>2ab，又2a>2b，∴1a<1b，选

已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围

f(x)＝ax2＋bx1<f(－1)≤2,2≤f(1)<4，f(－2)的取值范围.解：故5<f(－2)<10.故α，β满足

α＋3β解：

两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的 解析：选A 由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1， 1 a－ B．ab|b| D．a解析：选 1有 B．2 D．4 解析：

a<b成立，即ab<0设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是( C.1< bab2 解析：选C 当a<0时，a2<b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．因为1－

a2b＝a2b2<0，所以ab2<a2bCD项中b与a ①若a>bac2>bc2；②若ac2>bc2，则 解析：c＝02c>0

，则b2＋a2与a＋b的大小关

1

b2

a2

∴a＋

若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( 解析：选 法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－mm＜0＜nm＜－n＜n＜－m 解析：选

A.，6

B.－6，6 解析：选 由题设得

1 解析：选 ∵1 十三校联考 1 ，给出下面四个不等式已知b<ab；④a3>b3.其中不正确的不等式的个数是 解析：选 由1 ，则 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围 解析：∵－4＜β 当a>0，b2>1>b，即

a<0即

若 ∴ ∴

a－c2又 a－c2某企业去年年底给全部的800名员工共2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均年终奖为y万元2

2333

所以，103(2)2

2

60×800－2

所以60×80－2000a＞0，得1．(2014·济南调研)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则 解析：选B 2(22a>a－以由对数函数的单调性可知o(a21)>oa(2)>oa(－)，即m>p>n. 西城区期末)a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b. 由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1而函数f(x)＝2x在上是增函数∴b1，正确；∵a>b>0，∴a>b，∴( b2a－b)2＝2＝2b(a－b)>0，∴ 第二 x1＝x2＝－{x|x<x1{x|x≠－bR∅∅1．(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( 解析：选 T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，选 不等式ax＋bx＋2>0的解集是－2，3，则a＋b的值是 解析：选 a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14.故选不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围 ，即∴a>4

若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围 解析：m＝0时，1>0m≠0

(2)x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．a＜0时，x＜5ax＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.Δ的符号进行分类，最后在解：(1)3x2＋2x－8≤0，4解得 4 4所以原不等式的解集为x－2≤x≤3a＞0 aa＞1时，解为1＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；a0＜a＜1 10＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜aa＝1时，不等式的解集为a＞1时，不等式的解集为a＞1时，不等式的解集为x 角度一f(x)≥0(x∈R) 解析：根据题意可得(8sinα)2－4×8cos2α≤02sin2α－cos

α)≤0，即－2≤sinα≤2.0≤α≤π

，6∪6 角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b]) 解：f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2ax＝－2＝2①当2<－1a>6f(x)的值于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0，解得a<3，故有a∈∅；②当－1≤2≤12≤a≤6只要

f

2

2 a2<0③当2>1a<2f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0，即a<1，故有a<1.角度三f(x)≥0(m∈[a，b])x解：f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.x<1故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值于零

，(2)对于二次不等式恒成立问题于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全x0x轴下方．， 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2014年该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经，顾客的期望价格是4元/件．经测算，k.该商3元/件．[解 k

k(2)

x≥65.5≤x≤7.56元/20142013

80100100x成(1成

8x(2)10260x解：(1)y＝1001x·100181001x

50 所以(2)20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0. 2≤x≤4x的取值范围是 1．(2013·高考)不等式|x2－2|<2的解集是() 解析：选 2．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝( 解析：选 ∴－a<x<a -a

a2a2

c＝ 15，则 44

2D.2解析：选 由条件知x1，x2为方程2－2x－820的两根，则8a2，故(2－12＝x＋22－xx2(2a2－4(－82＝36a2＝52得4．(2014·皖南八校联考)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取 解析选A x2－x＋＝x－12＋4的最小为4所以2－x＋5≥2－3a对任数x恒成立，只需2－3≤4，解得

则不等式f(x)<4的解集 解析：f(x)<4等价于

0<x<3或－4<x≤0.因此，不等式f(x)<4的解集是(－，答案：(－4，A∩B＝(－1，n)，则m＝ ()又A∩B(－1n)答案

1．(2014·潍坊质检)不等式4≤x－2的解集是 解析：选 ①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；②当 高考)f(x)<0的解集为xx<－1或x>2f(10>0解集为 A．{x|x<－1x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lgD．{x|x<－lg

解析：选 因为一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<－1或x>2，所以可设

x＋1)·－2(a<0)，f(10)>0可得(10＋1)·10－2<0，10<2，x<－lg3．(2014·八校联考)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的( 解析：选 当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时

故＋1>0R0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有3个整数则a的取值范围是( 解析：选D 原不等式可能为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5] －5

－5

D.－∞，－5解析：选B 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，5，且5a的取值范围为 7．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是 x＋y2－y－1<0x∈RΔ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0解得 2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，a的取值范围为9解：(1)mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；

要使

－6<0x∈[1,3] 法一

m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，所 m<7m＝0时，－6<0当g(x)max＝g(1)⇒m－6<0m<6 6综上所述：m的取值范围是mm<7法二：因为

m< m<x因为函数

6

6所以，m的取值范围是mm<7

f(x)m当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，a＞0F(x)＞0的解集为{x|x＜－1x＞2}；当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．a∵a＞0a，即 解析：选 函数图像恒在x轴上方，即不等a2＋4a－5＝0a＝－5a＝1.a＝－524x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．a2＋4a－5≠0综上可知，a x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，由f(x)>x，可得x>5

x，yz＝2x＋3yx，y画出平面区域．避免的重要方法就是首先使二元一次不等式化为则z＝2x－3y的最小值是 解析：选 z＝2x－3yC时，z

，故选 zbb>0时，截距zb

b也取最大值；截距z取最小值时，zb当 z取最大值时，截距bb(2013·陕西高考)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最

作出曲线y＝|x－1|与y＝23

解析：C解

的整点(x，y)9 解析：选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部a＝04个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加－1)，(3，－1)5 解析：两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)x－2y＋2＝0x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即

角度一

则x＋2y的最大值是 5

那么z＝2x－y的最大值为 解析：(1)选 行移动y＝－1x＋1z，可知该直线经过y＝2x与x＋y＝1 A1，2时，z有最大值为

(2)选 角度二2．(1)(2013·山东高考)xOy中，M为不等式组x＋2y－1≥0， C已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影MAOM的斜率最小，由直

则x

解析：由题可知x

角度三3．(1)(2013·浙江高考设z＝kxyxy满足

若z的最大值为12，则实数 ，这时

若点，ax－y

2解析：z＝ax－yx＝0时，y＝－zz＝ax－yy轴上的截距是－z.a的取值范围为a<－1.2 z [典例](2013·高考)A，B900名客人旅行，A，求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则最少为()A．31200 B．36000C．36800 D．38400 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36 x，yx，y是否是整数、非负数等．400A、B原料都不超利润是()800 B．2400800 D．3100解析：Cxy

出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．

x－y＋2＝0

1k的值为)解析：选D 平面区域，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有 质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件

解析：选z＝OA·OP＝x＋2yB(0,1)zmax＝2.故选

z＝5y－x)

高考)x，y满足约束条件

x＋y 解析：OABC＝x＋yy＝－x＋z经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax＝4.

6．(2013·高考)设D为不等式组

D解析：B(1,0)2x－y＝0

|2×1－0|＝255距离为2522

已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( 解析：选B

解析：选 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令x，y满足约束条件

＋3y＋1的最大值为)解析：选B由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x＋3y＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)z＝2x＋3y＋14．(2013·卷Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件

z＝2x＋y为1，则 2z＝2x＋yl：y＝－2x＋zy轴上lB(1，－2a)z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝1，故选B.2

x＋2y≤14)解析：选Aa≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选

实数a的值

＝3

解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可FzDTAB，AC，AD，AE，AF，BF6条不同

8．(2014·郑州质检)x，y满足条件－y取得最小值，则实数a的取值范围

x＝y＝3解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－yy＝ax－z－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则

9x，y满足设

z由z＝4x－3y，得y＝4－z. z＝4x－3yy＝4－zy轴上的截距－z y＝4y＝4－zB时，－z最小，z

由

0(2)∵z＝x＝x－0∴zO5743解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，l0：2x＋3y＝0A时，w

A(50,50)wmax＝550505005501．(2013·高考)设关于x，y的不等式组

选C问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使点使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－

＝ 则a的值

的

第四 基本不等基本不等式ab≤a>0，b>0a，b的算术平均数为2，几何平均数为abx＋ypx＝y时，xy有最大值是4.(简记：和定积最大“a>0且b>0”是“2≥ab”成立的 解析：选 由0<x<1，故3－3x>0，则

2，即2

2(a，b同号

＋ 4的最小值为 ＋解析：x＋4＝x－1＋4 x－1＝4x＝3 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 2＋b a

2a＝b＝1时取2，当且仅当 ＋

a＋b＋1＝1＋2＋ ∵a，b

，当且仅当 2 1≥42≥8a＝b＝1时取 22

a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥2证明：a、b所以1＋1 1·1＝2

a2 当且仅当1＝1a＝b 又因为2 2·ab＝2 2＝ab所以11＋ab2＋ab≥2

1＝1

2

＞0，a＞0)x＝3 a＝4a(x>0，a>0)，当且仅当4x＝a，即a＝4x2时取等号

1x＋2y>m2＋2m数m的取值范围

x＋2y＝(x＋2y)2＋1＝2＋4y＋x＋2≥8，当且仅当4y＝x，即x＝2y＝4时等 (3)(2013·山东高考改编)设正实数x，y，z满足

z，则xyxy· xy· ＝y＋x

在

x＋2y－z的最大值解：由(3)zy＝1时，x＋2y－z

注意：形如

2当x＞0时，则f(x)＝2x的最大值为 x＋12已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值 22x∴f(x)＝2x＝x

≤

xx＝1x＝1xlog2a＋log2b≥1即 (当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号又∵a＋2b≥22ab≥4(a＝2b时取等号a＝2b时，3a＋9b即m≤10.故m的最大值为10.答案 — 某厂家拟在2013年举行促销活动，经 产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 k(k为常数)，如果不搞促销活动，则—2013ym[解 ∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－2每件产品 为1.5× (元∴2013年的利润y＝1.5x× 16

(2)∵m≥0时，16＋(m＋1)≥2当且仅当16＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元2013321

每年的费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单(1)x xx x·xx＝100x＝10x1．已知 2(x＜0)，则f(x)有 ＝ ＝

－x＋1－2≤－2－2＝－4，当且仅当 1，x＝－1

2．(2013·重庆高考改编)3－aa＋6(－6<a<3)的最大值为 2 23D.解析：选 22∴当a＝－3时

3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( 1解析：选 2x＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立 11≤41

创新题已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的 解析：a4a14＝(2∴2a7＋a11≥2 解析：由已知得m＋n＝2，所以1 ＝n＝1

n 已知函数 p 数p的值 x－1＞0，f(x)＝x－1＋p＋1≥2p＋1x＝p＋1f(x)在(1，＋∞)42p＋1＝49

＋4)＞lgsinsinx＋1≥2(x≠kπ，k∈Z)sin2 2x解析：选 取x＝1，则lgx2＋1＝lgx，故排除A；取

sinx＝－1 Bx＝0，则1＝1，故排除 11 1解析：选 ∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即

≤2.22若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大