期权和公司债务的定价

课程：专业英语专业：概率论与数理统计年级：2023级姓名：董南成绩：期权和公司债务的定价费希尔·布莱克〔FischerBlack〕迈伦.斯科尔斯〔MyronScholes〕现值。介绍的期权。行使期权时资产支付的价格被称为“行使价格”或“执行价我们都是争论这种期权，这种期权常被归为“看涨期权券的价格。行使，它的价值近似为零。格的债券的价格会格外低，期权的价值就近似等于股票的价格。价格减去行使价格，假设股票价格低于行使价格，期权的价值为零。通常地，假设股票的价值不变，期权价值随到期日的接近而下降。这些期权价值和股票价格关系的一般性质常用图1中的图形说明。直线A代表期权的最大值，由于期权的价值不会超过股票的价格。直线B代表期权的最小值，由于期权的价值不为负且不会小于T,T1 2

和T3

依次代表到期日越来越短的期权的价值。45度直线A的下方，我们可以看到期权的变动比股票的更不稳定。一个给定股票价格百分比的变动会导致一个到期日恒定的期权的价值更价格和到期日。Sprenkl〔196Ayrs196Bones1964Samuelso1965、Baumol、Malkiel和Quandt〔1966〕和Chen〔1970〕都推导出同样的定价公式的一般形式。然而，他们的公式都是不完整的，由于他们都没有涉及有一个或多个任意参数的状况。例如，Sprenkle的期权定价公式如下：kxN(b1

)k*cN(b)21lnkx/c 2(t*t) (t* (t*t)11lnkx/c 2(t*t)1 (t (t*t)2xc是行使价格，t*t是当前日期，2是股票回报的方差率，ln是自然对数，N(b是累计正态密度函数。但k和k*是未知的参数。Sprenkle〔1961〕定义k为当权证到*是基于股票风险的一个贴现因子。他尝试以阅历估量k和k*的值，但结果觉察他还是无能为力。更典型地，Samuelson〔1965〕有两个未知参数和，其中是是权证的期望回报率或应用于权证的贴现率。他假设当权证到期时股票合理的价值分布听从对数正态分布且在行将这个期定价模型能用这个适宜的程序确定权证的价值。在随后的论文中，Samuelson和Merton〔1969〕生疏到当权证行程度上是由投资者情愿持有的全部股票与期权的应收账款这个必要此影响其贴现率的期权和股票的风险仅仅是无法回避风险的一局部。他们最终的公式依靠于他们所假设的典型投资者的效用函数。ThorpKassouf〔1967〕表述了我们开发模型的观念之一。他他们利用这个公式计算了用作对冲的一个多头和另一个空头的股票的定价公式。定价公式短期利率是的且在整个时间段内是常数。股票价格在连续的时间内随机游动且其方差率与股票价格的平方成比例。因此在任意有限时间间距的末端合理的股票价格分布是对数正态的。股票回报的方差是常数。股票不支付红利和其它的股利派发。买卖股票和期权是没有交易费用。可用短期利率借到任意价格单位的证券买进或持有。短期卖出没有惩罚金。没有证券的卖家直接承受买家供给的证券价格，且同意将来与买家进展清算并支付他与那天证券价格相当的肯定数量的证券。策略，它的价值不依靠于股票价格，但依靠于时间和始终常数的值。记w(xt为期权的价值，它是股票价格x和时间t的函数，相对于一股股票的多头期权被卖空的数量为：1 w(x,t) 〔1〕1在表达式〔1〕中，下标表示w(xt)的对第一个自变量的偏导数。变化很小时期权价值的变化与股票价格的变化的比例为w1

(xt)。对于x，期权价格的变化量为w(xt)x，由表达式〔1〕给出的期权数量的变动为x。因此，股票1多头的变动值将会近似地抵消1w1

期权空头的变动值。当变量x和t的变动时，期权被卖空的数量随股票对冲策略转变。确定的。为了说明对冲策略的构造，我们考虑图1中的实心线〔T2

〕并且假设股票价格以$15.00为起点，因此期权的价值就以$5.00为起点。同时假设直线在那点的斜率为12。这意味着对冲策略是买入一股股票同时卖出两单位期权。一股股票花费$15.00，销售两单位期权的收入为$10.00，因此这个策略的收益为$5.00。$10.00涨到$15.75同时股票从$15.00涨到$20.00，或它们从$10.00跌到$5.75同时股票从$15.00跌到$10.00。因此，当股票价格在正负两个方向变动$5.00时收益从$5.00变为$4.25。即当股票价格在正负两个方向变动$5.00时收益下降了$0.75。另外，曲线随期权到期日的转变而转换〔1中由T到T。2 3结果期权价值的下降意味着股票价格的大变动导致对冲的收益增加和可能损失的抵消。变动值就越小。意味着在股票价格遵循连续一个随机游动且方差率为常数的假设下，着收益回报与市场回报之间的协方差为零。因此，假设能不断调整期权的空头策略可以使对冲的风险为零。组合也能分散全部的风险。一般而言，由于对冲策略包含一股股票多头和1w1

单位期权的空头，此策略的收益值为：

xww1

〔2〕在短间隔t上收益的变动值为：xww1

〔3〕假设空头策略不断地变动，我们可以利用随机微积分的学问去开放w，即w(xxtt)w(xt)如下：1wwx w2x2tw1

t 〔4〕1 2 1 2在〔4〕w2是股票回报的方差率。将表达式〔3〕代入〔4〕式，我们得到对冲策略的收益变动值为：(1w2x2w)t/w

〔5〕2 11 2 1rt。即使对此〔5〕式中收益的变动必需等于〔2〕式中的收益值乘上rt。(1w2x2w)t/w(xw/w

)rt 〔6〕2 11 2 1 1消去两边的t，重整理，我们得到一个期权价值的微分方程。1w rwrxw 2x2w1

〔7〕2 1 2 11记t*为期权的到期日，c为行使价格，我们知道；w(x,t*)xc, xc 〔8〕0, xc这是w(xt受制于边界条件〔8〕满足微分方程〔7〕的唯一公式。这个公式就是期权定价公式。为了解出这个微分方程，我们作以下的置换：* w(x,t)er(tt)y[(2/2)(r 2)* 121[lnx/c(r t*)],2(2/2)(r12)2(tt*) 〔9〕2有了这个置换，微分方程变为；

y y2 11

〔10〕y(u,0)0, u0 〔11〕2 c[eu(12)/(r12)2

u0微分方程〔10〕是物理学中的热传导方程，它的解由Churchill(1963,p155)给出。换成我们的记号，方程的解为;y(u,s)1/

22

c[e2

(uq2s)(12)/(r12)2 2 eq/将〔12〕式代入〔9〕式，简化后，我们得到：w(x,t)xN(d)cer(tt*)N(d)1 21lnx/c(r 2)(t*t)1 t* t*t1

〔13〕1lnx/c(r 2)(t*t)1 t* t*t2在〔13〕N(d是累计正态密度函数。股票的期望回报。股票价格上涨地越快，期权价格基于函数关系式〔13〕也就上涨地越快。(t*tr或方差率2相乘。因此，到期期限的增加作用于期权价值相当于r和2个百分比的