第四章数列章末综合测试-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

绝密★启用前第四章数列章末综合测试选择性必修第二册高中数学人教A版（2019）考试时间：120分钟；试卷满分：150分题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列数列是递减数列的是（）A． B． C． D．an＝|n﹣4|2．等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9﹣的值是（）A．14 B．15 C．16 D．173．已知数列{an}的前n项的和，则a3+a4+a5＝（）A．10 B．11 C．33 D．344．已知圆O的半径5，OP＝4，过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为a1，最长弦长为an，且公差d∈（，1]，则n的取值集合为（）A．{5，6} B．{6，7} C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣36．若数列{an}，{bn}的通项公式分别为，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，1） B． C． D．[﹣1，1）7．若1，a2，a3，4成等差数列；1，b2，b3，b4，4成等比数列，则等于（）A． B． C． D．8．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝，，n∈N*，则下列选项错误的是（）A． B．a50b50＜112 C．a50+b50＝ D．|a50﹣b50|≤15

第Ⅱ卷二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A．若Sn＝n2+2n﹣1，则an＝2n+1 B．若an＝3n﹣23，则Sn的最小值为﹣77 C．若an＝4n﹣3，则数列{（﹣1）nan}的前17项和为﹣33 D．若数列{an}为等差数列，且a1011+a1012＜0，a1000+a1024＞0，则当Sn＜0时，n的最大值为202310．已知数列{an}满足，设数列{cn}的前n项和为Sn，其中，则下列四个结论中，正确的是（）A．a1的值为2 B．数列{an}的通项公式为 C．数列{an}为递减数列 D．11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，下列说法正确的是（）A．d＜0 B．S12＞0 C．数列{Sn}的最大项为S11 D．|a6|＞|a7|12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，则下列结论正确的是（）A．a2+a5＝2a8 B．a3+a6＝2a9 C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列{an}前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为．14．在数列{an}中，a1＝2，an+1+（﹣1）nan＝1，n∈N+，则{an}的前2022项和为．15．已知等比数列{an}的公比q∈（0，1），且a52＝a7，则使a1+a2+⋯+an＞成立的正整数n的最大值为．16．下列叙述中，①等差数列{an}，Sn为其前n项和，若S2022＜0，S2023＞0，则当n＝1011时，Sn最小；②等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若d＞0，则{Sn}为递增数列；③等比数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2＜a3＜a2，则{Sn}有最小项；④在等差数列{an}中，记Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣⋯+（﹣1）n+1an（n＝1，2，⋯），若存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2，则{an}为递增数列正确说法有（写出所有正确说法的序号）．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知两个数列的前5项如下：{an}：25，37，49，61，73，…{bn}：1，4，9，16，25，…（1）根据前5项的特征，分别求出它们的一个通项公式；（2）根据第（1）题的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项．如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．（1）Sn＝2n﹣1，n∈N*；（2）Sn＝2n2+n+3，n∈N*．19．已知等差数列{an}满足a3＝12，a5+a7＝48，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn的通项公式；（2）记Tn＝，求证：．20．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前n项和Tn．21.已知数列{an}满足a1＝2，且（an+1﹣3）•（an+1）+4＝0，n∈N*．（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和．22．对于项数为m的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜……＜am，且对任意1≤i≤j≤m，ai•aj与中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．（1）如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2•a3；（2）如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数，试判断{an}是否为等比数列？并说明理由．

第四章数列章末综合测试参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列数列是递减数列的是（）A． B． C． D．an＝|n﹣4|解：对于A：an＝＝1﹣为递增数列，对于B：an＝为递减数列，对于C：an＝﹣n2+4n＝﹣（n﹣2）2+4，先增后减数列，对于D：an＝|n﹣4|，先减后增数列，故选：B．2．等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9﹣的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12＝120，得a8＝24，所以a9﹣＝（3a9﹣a11）＝（a9+a7+a11﹣a11）＝（a9+a7）＝＝16故选：C．3．已知数列{an}的前n项的和，则a3+a4+a5＝（）A．10 B．11 C．33 D．34解：数列{an}的前n项的和，则a3+a4+a5＝S5﹣S2＝（25+20+2）﹣（4+8+2）＝33．故选：C．4．已知圆O的半径5，OP＝4，过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为a1，最长弦长为an，且公差d∈（，1]，则n的取值集合为（）A．{5，6} B．{6，7} C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}解：圆O的半径5，OP＝4，过点P的n条弦的最短弦长＝2＝6，最长弦长为直径10．则过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为a1＝6，最长弦长为an＝10，∴10＝6+（n﹣1）d，解得d＝∈（，1]，解得：5≤n＜7，则n的取值集合为{5，6}，故选：A．5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣3解：∵S3＝2a2+7a1，∴＝2a1q+7a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣6＝0，即（q﹣3）（q+2）＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），∴q＝3．故选：B．6．若数列{an}，{bn}的通项公式分别为，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，1） B． C． D．[﹣1，1）解：由题意得（﹣1）n+2020a＜2+，①当n奇数时，﹣a＜2+，∵2+单调递减，∴2+∈（2，+∞），∴﹣a≤2，∴a≥﹣2．②当n偶数时，a＜2﹣，∵2﹣单调递增，∴＝2﹣＝，∴a＜，∴a＜．综上所述，﹣2≤a＜．故选：B．7．若1，a2，a3，4成等差数列；1，b2，b3，b4，4成等比数列，则等于（）A． B． C． D．解：∵数列1，a2，a3，4成等差数列，∴a3﹣a2＝＝1，∵1，b2，b3，b4，4成等比数列，∴b32＝1×4＝4，且b3＞0，∴b3＝2，∴＝．故选：A．8．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝，，n∈N*，则下列选项错误的是（）A． B．a50b50＜112 C．a50+b50＝ D．|a50﹣b50|≤15解：A．∵，n∈N*，∴＝＝，∴＝…＝＝＝，故A正确；B．由题意可得an+1bn+1＝（bn+）（an+）＝2+anbn+≥4，当且仅当anbn＝取等号，∵anbn≥4，∴≤，∴a50b50＝2+a49b49+＝2×2+a48b48++＝…＝2×49+a1b1+++…+，又a1＝2，b1＝，∴a50b50＜2×49+1+1+×48＝112，因此B正确；C．an+1+bn+1＝bn++an+＝（bn+an）（1+），∴＝＝•，∴＝＝…＝，∴a50+b50＝，因此C正确；D．an+1﹣bn+1＝bn+﹣an﹣＝（bn﹣an）（1+），∴＝＝•，∴＝＝…＝＝，而a50b50＝2+a49b49+＝2×2+a48b48++＝…＝2×49+a1b1+++…+＞2+2×49＝100，∴|a50﹣b50|＝＞15，因此D不正确．故选：D．二．多选题（共4小题）9．设数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A．若Sn＝n2+2n﹣1，则an＝2n+1 B．若an＝3n﹣23，则Sn的最小值为﹣77 C．若an＝4n﹣3，则数列{（﹣1）nan}的前17项和为﹣33 D．若数列{an}为等差数列，且a1011+a1012＜0，a1000+a1024＞0，则当Sn＜0时，n的最大值为2023解：对于A，，当n＝1时，a1＝S1＝2，由an＝2n+1，当n＝1时，a1＝3，故A错误，对于B，若an＝3n﹣23，当n＝1时，a1＝﹣20，则a7＜0，a8＞0，故当n＝7时，Sn取得的最小值为，故B正确，对于C，若an＝4n﹣3，设数列{（﹣1）nan}的前n项和为Tn，故T17＝﹣a1+a2﹣a3+a4+⋯+a16﹣a17＝（﹣1+5）+（﹣9+13）+⋯+61﹣65＝4×8﹣65＝﹣33，故C正确，对于D，数列{an}为等差数列，且a1011+a1012＜0，a1000+a1024＞0，则a1011+a1012＝a1+a2022＜0，a1000+a1024＝a1+a2023＞0，故，当Sn＜0时，n的最大值为2022，故D错误．故选：BC．10．已知数列{an}满足，设数列{cn}的前n项和为Sn，其中，则下列四个结论中，正确的是（）A．a1的值为2 B．数列{an}的通项公式为 C．数列{an}为递减数列 D．解：对于A选项，∵，∴a1＝2，∴A正确；对于B选项，∵，∴，∴2nan＝3n+1，∴，（n≥2），当n＝1时，也满足上式，∴数列{an}的通项公式为，∴B错误；对于C选项，∵，∴，∴数列{an}为递减数列，∴C正确；对于D选项，∵，∴，∴D正确．故选：ACD．11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，下列说法正确的是（）A．d＜0 B．S12＞0 C．数列{Sn}的最大项为S11 D．|a6|＞|a7|解：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，所以a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，故d＜0，A正确；S12＝6（a1+a12）＝6（a6+a7）＞0，B正确；数列{Sn}的最大项为S6，C错误；由a6+a7＞0可得a6＞﹣a7＝|a7|，故D正确．故选：ABD．12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，则下列结论正确的是（）A．a2+a5＝2a8 B．a3+a6＝2a9 C． D．解：若等比数列{an}公比q＝1，则S3+S6＝9a1，而2S9＝18a1，与S3+S6＝2S9矛盾，∴q≠1，∵S3+S6＝2S9，∴，整理，得2q9﹣q6﹣q3＝0，解得q3＝﹣或q3＝1，∵q≠1，∴q3＝﹣，则a2，a5，a8与a3，a6，a9均成等比数列，CD错误；∴2a8﹣（a2+a5）＝2a1q7﹣（a1q+a1q4）＝a1q﹣（a1q﹣a1q）＝0，可得a2，a8，a5为等差数列，即a2+a5＝2a8，故A正确；2a9﹣（a3+a6）＝2a1q8﹣（a1q2+a1q5）＝q[2a8﹣（a2+a5）]＝0，可得a3，a9，a6为等差数列，即a3+a6＝2a9，故B正确．故选：AB．三．填空题（共4小题）13．已知等差数列{an}前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为78．解：由等差数列的性质得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，∵等差数列{an}前3项的和为6，前6项的和为21，∴6，21﹣6，S9﹣21，S12﹣S9成等差数列，∴S9﹣21＝15+9＝24，∴S9＝45，∴S12﹣45＝24+9＝33，∴其前12项的和S12＝78．故答案为：78．14．在数列{an}中，a1＝2，an+1+（﹣1）nan＝1，n∈N+，则{an}的前2022项和为1015．解：∵，令n＝1，则a2﹣a1＝1，故a2＝3，当n为偶数时，则an+1+an＝1，an+2﹣an+1＝1，∴an+2+an＝2；当n为奇数时，则an+1﹣an＝1，an+2+an+1＝1，∴an+2+an＝0；设数列{an}的前n项和Sn，则S2022＝a1+a2+...+a2022＝[a1+（a3+a5）+...+（a2019+a2021）]+[a2+（a4+a6）+...+（a2020+a2022）]＝（2+0×505）+（3+2×505）＝1015，故答案为：1015．15．已知等比数列{an}的公比q∈（0，1），且a52＝a7，则使a1+a2+⋯+an＞成立的正整数n的最大值为4．解：在等比数列{an}中，a52＝a7，即（a1•q4）2＝a1•q6，即a1•q2＝1①，∵q2＞0，∴a1＞0，又数列{an}是公比为q的等比数列，则＝＝，即数列{}是首项为，公比为的等比数列，a1+a2+⋯+an＞，则＞，由①得a1＝q﹣2，q∈（0，1），则1﹣qn＞0，∴q﹣4（1﹣qn）＞q1﹣n（1﹣qn），即q﹣4＞q1﹣n，∴﹣4＜1﹣n，解得n＜5，又n是正整数，则使a1+a2+⋯+an＞成立的正整数n的最大值为4，故答案为：4．16．下列叙述中，①等差数列{an}，Sn为其前n项和，若S2022＜0，S2023＞0，则当n＝1011时，Sn最小；②等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若d＞0，则{Sn}为递增数列；③等比数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2＜a3＜a2，则{Sn}有最小项；④在等差数列{an}中，记Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣⋯+（﹣1）n+1an（n＝1，2，⋯），若存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2，则{an}为递增数列正确说法有①（写出所有正确说法的序号）．解：对于①，等差数列{an}中，S2022＜0，S2023＞0，∴a1+a2022＝a1011+a1012＜0，a1+a2023＝2a1012＞0，得a1011＜0，a1012＞0，则当n＝1011时，Sn最小，故①正确；对于②，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则＝，其对称轴方程为n＝1﹣，d＜0，当a1＞0时，对称轴n＝1﹣＞1，{Sn}不一定为递增数列，故②错误；对于③，等比数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2＜a3＜a2，则a2＞0，a3＜a2，若取，，满足题意，但{Sn}无有最小项，故③错误；对于④，若∃m∈N+，使Tm+2＞Tm，由Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2，即（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2＞0，当m为奇数时，﹣am+1+am+2＞0，am+2＞am+1，∴{an}递增数列，当m为偶数时，am+1﹣am+2＞0，am+1＞am+2，∴{an}递减数列，故④错误．∴正确说法有①．故答案为：①．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知两个数列的前5项如下：{an}：25，37，49，61，73，…{bn}：1，4，9，16，25，…（1）根据前5项的特征，分别求出它们的一个通项公式；（2）根据第（1）题的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项．如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项．解：（1）an＝12n+13；bn＝n2．（2）令an＝bn，得12n+13＝n2，可解得n1＝13或n2＝﹣1（舍）．所以这两个数列是否有序号与项都相同的项．它们是第13项．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．（1）Sn＝2n﹣1，n∈N*；（2）Sn＝2n2+n+3，n∈N*．解：（1）由Sn＝2n﹣1，①则，②①﹣②得：，（n≥2），又n＝1时，满足上式，即，n∈N*；（2）由Sn＝2n2+n+3，③则，④③﹣④得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，（n≥2），又n＝1时，a1＝S1＝6，不满足上式，即．19．已知等差数列{an}满足a3＝12，a5+a7＝48，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn的通项公式；（2）记Tn＝，求证：．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝12，a5+a7＝48，可得a1+2d＝12，2a1+10d＝48，即a1+5d＝24，解得a1＝4，d＝4，则an＝4n，Sn＝n（4+4n）＝2n2+2n；（2）证明：＝（﹣），Tn＝＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣），因为＞0，所以Tn＜；又{1﹣}为递增数列，则Tn≥T1＝，所以．20．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为q．当q=1时，显然S3+S6≠2S9，与已知S3，S9，S6成等差数列矛盾，∴q≠1．由S3+S6=2S9，可得+=2，化为：1+q3=2q6，∴a2+a5===2a8．∴a2，a8，a5成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得q3=1（舍去），q3=﹣．∴===．b1=a2=1，b3=a5=﹣，数列{bn}的公差d=（b3﹣b1）=﹣．∴bn=﹣+，故=，Tn=++…+，①=+…++②①﹣②得：=﹣2+﹣=﹣2﹣﹣=+，解得Tn=﹣+．2