2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第59讲空间直线、平面平行位置关系的证明

第59讲空间直线、平面平行位置关系的证明【知识要点】、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法 ^方法一（几何法）：线线平行 线面平行面面平行，它体现的主要是一个转化的思想八 /位直大系定义判定定理性质定理直线和平面平行直线和平面没有公共点.如果小在一个平囿内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（记为：线线平行，则线面平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平囿相交，那么这条直线就和两平面的交线平行.（记为：线面平行，则线线平行）平囿和平囿平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行①如果一个平囿内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行（记为：线面平行，则面面平行）①如果两个平囿平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平囿.（记为：囿囿平行，则线面平行）②如果两个平行平囿同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.③平行于同一个平面的两个平面平行.④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.⑤夹在两个平行平囿间的两条平行线段相等.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性rr r r其中向量a,b是直线a,b的方向向量，且a（x1,y1,4）,b（x2,y2,z2）

irr ur r向量m,n是平面,的法向量，且m（兄，丫323）,n（X4,y4,Z4）rr直线aP直线rr直线aP直线baPbXiX2,y1丫2,Zjz2（其中a，b分别为直线a,b的方向向量）直线aP平面的法r ir ru r ur直线aP平面的法amagm0 \*§丫1丫3za0（其中a为直线a的方向向量，m为平面向量）urr urr平面 P平面mPnX3X4,y3 ¥4,勺z4（其中m,n分别为平面 ， 平面 P平面、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系三、空间平行位置关系的证明，总是把要证明的平行关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明 .如果要证明线线平行，只能首先转化成证明线面平行；如果要证明线面平行，可以首先转化成证明线线平行或者面面平行；如果要证明面面平行，只能首先转化成证明线面平行【方法讲评】方法一几何方法使用情景转化的直线或平囿比较容易找到解题步骤按照线线平行 线面平行 面面平行的思路分析解答，找到关键的直线或平面 .【例1】【2017山东，文18］由四棱柱ABCDAiBiCiD截去三棱锥G-BCD后得到的几何体如图所示，四边形ABC时正方形，O为AC!BD的交点工为AD的中点，AiE平面ABCD（I）证明：AO//平面BCD;（n）设M是OD勺中点，证明：平面AEM 平面BCD.88【解析】（I）取用"中点连接由于四s—4与G「1为四棱柱，所以4。"。9.4口产™,因此四边形4。皿1为平行四边形,所以AO//OiC,又OiC平面BiCDi,AO平面BiCDi,所以AO//平面B所以AO//OiC,(II)因为dCLBA,民航分别为血)和8的中点？所以码_1_班,又4F_L面*⑵』班仁平面/£53所以4后_1_丑0因为BQ\"BD所以国M_L%2,WE，用B又3皿u平面4瓦44£。区廿=E，所以上平面d囱丸又陋仁平面Bid,所以平面&EM［平面4CQ.口1B C【点评】(1)本题就是利用几何法证明线面平行， 把证明AO//平面BCD转化成证明A1O//O1C.(2)找平行线时，先看平面内已知的线是否和它平行，如果没有和它平行的线，就要通过作辅助线作出和它平行的线.作辅助线时，可以把已知的直线平移到平面内的各特殊点，看哪个地方方便作出平行线并好证明【例2】(2016年山东高考文科第18题)在如图所示白^几何体中， D是AC的中点，EF//DB(I)已知AB=BCAE=EC求证：AC!FB;(II)已知GH分别是EC^FB的中点.求证：GH/平面ABC【解析】(I))证明：因EF〃BD,所以EF与BD确定一个平面，连接DE,因为AEEC,E为AC的中点，所以DEAC；同理可得BDAC,又因为BDDED,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,ACFB.

([I)设FC的中点为I,连G上由，在ACER中，G是CE的中点"所以田力EF.,又EFHDB、所以由力功：在AC?学中，V是FB的中点，的以田NBC,又GFCHT=L所以平面函〃平面ABC,因为附u平面GW,所以GE"平面4ffC口【点评】(1)本题就是利用几何法证明面面平行， 把证明GH平面ABC专化成证明平面GHI〃平面ABC.(2)证明线面平行可以转化成证明最靠近的线线平行或者面面平行，但是此题要转化成证明线线平行比较困难，所以转化成证明面面平行.到底转化成哪一个更简洁，取决于已知条件和你的判断，所以我们要学会分析和判断，提高解题效率.【反馈检测1】【2017课标II,理19]如图，四棱锥P-ABCDK侧面PAM等比三角形且垂直于底面1 C ABCDABBC—AD,BADABC90o,E是PD的中点.(1)证明：直线CE//平面PAB(2)点M在^^PC上，且直线BMW底面ABC断成角为45o,求二面角MABD的余弦值.

方法二向量法使用情景转化的直线或平面不容易找到，而已知条件方便建立空间直角坐标系，点的坐标比较容易写出.解题步骤建立空间直角坐标系 写出点的坐标，求出直线方向向量的坐标和平面的法向量 利用向量的关系得到直线和平面的关系.【例3】(2017天津理科第17题)如图，在三^B隹PABC中，PA，底面ABC,BAC90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4,AB2.(I)求证：MN//平面BDE; (n)求二面角CEMN的正弦值；(m)已知点H在^^PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为叵,求线段AH的长.21A C【解析】如图,以融为原点，分别以屈，前，而方向为T轴］丁轴、了轴正方向建立空间直角坐标系一依题意可得d(0,0,0£B⑵0,0),C<0,4,0),PE,0,4),D(必072),E(072,2)iM⑼①13N(1,2；0).uuir uur(I)证明：DE=(0,2,0),DB=(2,0, 2).设n(x,y,z),为平面BDE的法向量,uurinDE0_2y0 uuuu 一，『uuuu则uur,即y.不妨设z1,可得n(1,0,1).又MN=(1,2, 1),可得MNn0.nDB02x2z0因为MN平面BDE,所以MN//平面BDE.C口)解:易如、=ao,0＞为平面CEM的T法向量遥啊=口以“为平面ew的法向量，则一"一八"八不妨谡y=1，可得%=(-4T-2).Jt+%T=0一"一八"八不妨谡y=1，可得%=(-4T-2).Jt+%T=0R一，因为皿=((X—Z—l)j =D,斫以1nl3^=0就匕有/AJ/ 于是画＜和吗A里L1n111nli ＜21所以j二ESC-EM-M的正弦值为孚一■1(ID)解：依题意，设AHhh(ID)解：依题意，设AHhh(0h4),则H(0uumi uur0,h),进而可得NH(1,2,h),BE(2,2,2).uumuur, - uuuuuuu|nhuumuur, - uuuuuuu|nhBEI由已知，得|cosNH,BE|-uuuu-uuu-|NH||BE||2h2|-h252.3TOC\o"1-5"\h\z<7,整理得10h221h80,解得hA或h二.

21 5 2所以，线段AH的长为8或1.5 2【点评】本题如果把线面平行转化成证明线线平行，不是很方便 .由于已知条件中有PAL底面ABCBAC90,方便建立空间直角坐标系，也方便写出点的坐标，所以选择向量法更合适 ^【反馈检测2】如图，平面PAC平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， E,F,O分别为PA,PB,AC的中点，AC16,PAPC10.(I)设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE;(II)证明：在ABO内存在一点M,使FM平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.

高中数学常见题型解法D3纳及反馈检测第 59讲:空间直线、平面平行位置关系的证明参考答案【反馈检测1【反馈检测1答案】（1）证明略；（2）105【反馈检测I详细解析】（口取入的申点连结&LAP一因为£是丑D的申点，所以班〃AD7EF=-AD7^Z£AD=ZABC=9^^BCUAD?又BC=L&,所以丽义8C“四边形山如2 2为平行四边形，CE"方尸.又3Fu平面降,3r叱平面无，故谓"平面巴通.（2）由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则则A(0,坐标系Axyz,则则A(0,0,0),B(1,0,0)C(1,1,0),P(0,1,V3),PC(1,0,曲),AB(1,0,0)则uuuuBMuuuu -uuuuBM(x1,y,z),PM(x,y1,z百)因为MB与底面ABCD所成的角为45°,而n因为MB与底面ABCD所成的角为45°,而n（0,0,1）是底面ABCD的法向量,所以uiuurcosBM,n0sin45，(x1)2y2 z2;即(x1)2 y2z2 0.二 uuuuuur又M在^PC上，设PMPC,则x,y1,z设机■（与产州,4）是平面ABAf的法向量，贝i设机■（与产州,4）是平面ABAf的法向量，贝i「km^AB(2-而)%+2箍+ =0飞二"所以可取南二（Oi-柩,2）.干是由曰旧产=同卜I="V因此二面房M-AB-D的余弦侑为胆.09 9【反馈检测2答案】（1）见解析；（2）M（4,一,0），点M到OA,OB的距离为4--4 4【反馈检测2详细解析】证明：（I）如图，连结OP,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴，【反馈检测2详细解析】证明：（I）如图，连结OP,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,则。0,0,0,A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F4,0,3,由题意得，G0,4,0，因uuuuurOB(8,0,0),OE(0,4,3),因此平面BOE勺法向量为n(0,3,4),uuur

FGruuur(4,4,3得nFG0,又直线