新型浮动利率债券定价df

第三讲无套利定价原理什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论第一部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论商业贸易中的套利行为

15,000元/吨翰阳公司卖方甲买方乙17,000元/吨铜铜在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：

（2）空间成本

（3）时间成本

金融市场中的套利行为

专业化交易市场的存在

信息成本只剩下交易费用产品标准化金融产品的无形化－－没有空间成本金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会

金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷

套利的定义套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。

第二部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价”原理无套利定价”原理

金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利利定价价原理理（1））同损损益同同价格格如果两两种证证券具具有相相同的的损益益，则则这两两种证证券具具有相相同的的价格格。（2）静态态组合合复制制定价价：如果一一个资资产组组合的的损益益等同同于一一个证证券，，那么么这个个资产产组合合的价价格等等于证证券的的价格格。这这个资资产组组合称称为证证券的的“复复制组组合””（replicatingportfolio）。（3）动态态组合合复制制定价价：如果一一个自自融资资（self-financing）交易易策略略最后后具有有和一一个证证券相相同的的损益益，那那么这这个证证券的的价格格等于于自融融资交交易策策略的的成本本。这这称为为动态态套期期保值值策略略（dynamichedgingstrategy）。确定状态态下无套套利定价价原理的的应用案例1：：假设两个个零息票票债券A和B，，两者都都是在1年后的的同一天天支付100元元的面值值。如果果A的当当前价格格为98元。另另外，假假设不考考虑交易易成本。。问题：（1）B的价格格应该为为多少呢呢？（2）如果B的市场价格只只有97.5元，问如何套套利呢？应用同损益同同价格原理：：B的价格也为为98元如果B的市场场价格只有97.5元，，卖空A，买买进B案例2：假设当前市场场的零息票债债券的价格为为：①1年后到到期的零息票票债券的价格格为98元；；②2年后到到期的零息票票债券的价格格为96元；；③3年后到到期的零息票票债券的价格格为93元；；另外，假设不不考虑交易成成本。问题：（1）息票率率为10％，，1年支付1次利息的三三年后到期的的债券的价格格为多少呢？？（2）如果息票率率为10％，1年支付1次利息的三年年后到期的债债券价格为120元，如何套利利呢？看未来损益图图：1年末2年末3年末1010110静态组合复制制策略（1）购买0.1张的1年后到期的的零息票债券券，其损益刚刚好为100×0.1＝＝10元；（2）购买0.1张的2年后到期的的零息票债券券，其损益刚刚好为100×0.1＝＝10元；（3）购买1.1张的3年后到期的的零息票债券券，其损益刚刚好为100×1.1＝＝110元；；根据无套利定定价原理的推推论0.1×98＋0.1××96＋1.1×93＝＝121.7问题2的答案案：市场价格为120元，低低估B，则买买进B，卖出出静态组合（1）买进1张息票率为为10％，1年支付1次次利息的三年年后到期的债债券；（2）卖空0.1张的1年后到期的的零息票债券券；（3）卖空0.1张的2年后到期的的零息票债券券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零零息票债券；；案例3：假设从现在开开始1年后到到期的零息票票债券的价格格为98元，，从1年后开开始，在2年年后到期的零零息票债券的的价格也为98元（1年年后的价格））。另外，假假设不考虑交交易成本。问题：（1）从现在在开始2年后后到期的零息息票债券的价价格为多少呢呢？（2）如果现在开开始2年后到期的零零息票债券价价格为99元，如何套利利呢？(1)从现现在开始1年年后到期的债债券Z0×1第1年末支付:100价格:98(2)1年年后开始2年年后到期的债债券Z1×2第2年末支付:100价格:98(3)从现现在开始2年年后到期的债债券Z0×2第2年末支付:100价格:？动态组合复制制策略：（1）先在当当前购买0.98份的债债券Z0×1；（2）在第1年末0.98份债券Z0×1到期，获得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用获得得的98元去购买1份债券Z1×2；自融资策略的的现金流表交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)购买0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：-96.040100这个自融资交交易策略的损损益：就是在第2年年末获得本金金100元，，这等同于一一个现在开始始2年后到期期的零息票债债券的损益。。这个自融资交交易策略的成成本为：98×0.98＝96.04如果市价为99元，如何何套利构造的套利策策略如下：（1）卖空1份Z0×2债券，获得99元，所承承担的义务是是在2年后支支付100元元；（2）在获得得的99元中中取出96.04元，购购买0.98份Z0×1；（3）购买的的1年期零息息票债券到期期，在第一年年末获得98元；（4）再在第第1年末用获获得的98元元购买1份第第2年末到期期的1年期零零息票债券；；（5）在第2年末，零息票票债券到期获获得100元，用于支付付步骤（1）卖空的100元；交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)卖空1份Z0×299

-100(2)购买0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：99-96.04=2.9600不确定状态下下的无套利定定价原理的应应用不确定状态：：资产的未来损损益不确定假设市场在未未来某一时刻刻存在有限种种状态在每一种状态态下资产的未未来损益已知知但未来时刻到到底发生哪一一种状态不知知道案例4：假设有一风险险证券A，当当前的市场价价格为100元1年后的市场场出现两种可可能的状态：：状态1和状状态2。状态1时，A的未来损益益为105元元，状态2时时，95元。。有一证券B，，它在1年后后的未来损益益也是：状态态1时105元，状态2时95元。。另外，假设不不考虑交易成成本。问题：（1）B的合合理价格为多多少呢？（2）如果B的价格为99元，如何套利利？答案：（1）B的合合理价格也为为100元；；（2）如果B为99元，，价值被低估估，则买进B，卖空A案例5：假设有一风险险证券A，当当前的市场价价格为100元1年后的市场场出现两种可可能的状态：：状态1和状状态2。状态1时，A的未来损益益为105元元，状态2时时，95元。。有一证券B，，它在1年后后的未来损益益也是：状态态1时120元，状态2时时110元。另外，假设不不考虑交易成成本，资金借借贷也不需要要成本。问题：（1）B的合合理价格为多多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利利？证券未来损益益图10010595风险证券APB120110风险证券B111资金借贷静态组合策略略：要求x份份的证券A和和y份的的资金借贷构构成B解得：X=1,y=15所以：B的价格为：：1*100+15*1=115第二个问题：：当B为110元时，如何何构造套利组组合呢？套利组合：买进B，卖空A，借入资金15元。

期初时刻的现金流期末时刻的现金流第一种状态第二种状态(1)买进B-110120110(2)卖空A100-105-95(3)借入资金15元15-15-15合计500案例6：假设有一风险险证券A，当当前的市场价价格为100元1年后的市场场出现三种可能的状态态：状态1、、2和3。状态1、2和和3时，A的的未来损益分分别为110.25，99.75，，90.25元。有一证券B，，它在1年后后的未来损益益也是：状态态1、2和3时，分别为为125，112.5和和109元。另外，假设不不考虑交易成成本，资金借借贷的年利率率为5.06％，半年利利率为2.5％。问题：（1）B的合合理价格为多多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利利？证券未来损益益图100110.2599.75风险证券A风险证券B资金借贷90.25PB125112.510911.05061.05061.0506构造静态组合合：x份A和y份资金金借贷构成B方程无解！动态组合复制制动态：我们把1年的持有期拆拆成两个半年年，这样在半半年后就可调调整组合假设证券A在半年后的的损益为两两种状态，，分别为105元和95元证券B的半半年后的损损益不知道道110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025构造如下的的组合：（1）1份的证券A；（2）持有现金金13.56。在半年后进进行组合调调整(1)证券券A的损益为105时：再买进0.19份的证券A，需要现金金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的现金金13.56，加上利息息变为：13.56×1.025＝13.90。半年后的组组合变为：：1.19份证券A现金－6.05（（13.90––19.95）在1年后此组合合损益状态态为：(2)证券A的损益为95时：卖出0.632份的证券A，得到0.632×95＝60.04元持有的现金金13.56，加上利息息变为：13.56×1.025＝13.90半年后的组组合变为：：0.368份证券A现金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此组合合损益状态态为：110.2599.7590.2510010595原始组合：：(1)持有有1份A(2)持有有现金13.56操作：卖出出0.632份A组合为：(1)持有有0.368份A(2)持有有现金73.94操作：买进进0.19份A组合为：(1)持有有1.19份A(2)持有有现金-6.05组合的支付付为：125112.5109半年后的组组合调整是是如何得到到呢？动态策略调调整方法：：多期的静态态复制策略略从后往前应应用静态复复制策略110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）证券在中中期价格为为105时：解得：x=1.19，y＝－5.90此时B的价价格为：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）证券在中中期价格为为95时：解得：x=0.368，y＝72.14此时B的价价格为：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的当前价价格为：B＝1×100＋13.56×1＝113.56无套利定价价原理的简简单总结无套利定价价原理就是是金融学，，金融工程程的核心思思想“同损益同同价格”实实际上就是是“一价定定理”静态和动态态组合复制制策略则是是用于给衍衍生产品定定价的基本本思想如果市场存存在摩擦（（交易成本本）时，只只能给出一一个定价区区间。在这这个定价区区间内，市市场无法实实现套利。。第三部分什么是套利利什么是无套套利定价原原理无套利定价价原理的基基本理论Arrow-Debreu模模型1、市场环环境2、套利组组合的定义义3、无套利利组合等价价定理4、完全全市场与与不完全全市场1、市场环环境假设设市场中有有N个证券，，s1,s2,s3,…,sN两个投资资时刻，，0和1时刻第i种证券在在初始0时刻的价价格为pi，则N种证券的的价格向向量为：P=(p1,p2,…,pN)T市场在未未来1时刻有M种可能状状态，第第i种证券在在第j种状态下下的损益益为Dij，则这些些证券的的损益矩矩阵为：：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假设损益益矩阵D的值对于于投资者者是已知知的，但但是投资资者无法法提前知知道在1时刻这些些证券处处于M种状态中中的哪一一种状态态证券组合合用向量量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有有的第i种证券的的数量，，多头时时，θi>0；空头时时，θi<0时。假设市场场是无摩摩擦的，，即不考考虑交易易费用，，税收等等证券组合合θ在初始0时刻的价价格则为为：这个组合合在第j种状态态下的损损益则为为：2、套利组组合的定定义一个证券券组合θ定义为套套利组合合，如果果它满足足：或者：3、无套套利组合合等价定定理定理1：：市场不存存在套利利组合的的等价条条件是：：存在一个个正向量量，，使使得，即状态价格格无套利组组合等价价定理的的含义：：如果市场场不存在在套利组组合，则则资产的的当前价价格与未未来损益益之间要要满足一一定的条条件。这这个条件件是要存存在一个个对应于于M个状态的的向量，，一般称称之为状状态价格格（state-prices）。基础资产产假设市场场另外存存在M种资产，，sN+1,sN+2,…,sN+M。这M种资产的的未来损损益为，，只在一一种状态态下为1，其余状状态下都都是零。。即对于于资产sN+j，它的未未来损益益只是在在第j种状态为为1，其余状状态为0。这M种资产就就构成了了“基础础资产””，由它它们生成成的组合合的未来来损益可可以表示示任意一一种资产产的未来来损益。。基础资产产的价格格假设M个基础资资产的价价格分别别为：u1，u2，…,uM根据无套套利定价价原理，，任何一一种未来来损益为为(d1,d2,…,dM)的资产产价格应应该为：：按照定理理1的表表述，u1，u2，…,uM就是满足足定理1条件的的正向量量所以，我我们称称为为状态价价格，即即每种状态态下单位位未来损损益的资资产价格格。风险中性性概率把状态价价格归一一化，即即让M个分量的的和变为为1：问题：状状态价格格的分量量和表表示什么么呢？就是未来来损益都都是1的的资产的的价格未来损益益都是1，即是是无风险险债券的的价格定理1的的式子可可重新写写成：通常把归归一化后后的状态态价格称称为风险险中性概概率或风风险调整整调整概概率，它它指的是是经过投投资者风风险调整整的每一一种状态态可能发发生的概概率推论如果市场场不存在在套利组组合，而而且假设设无风险险借贷的的利率为为r，则存在在一个概概率测度度使得任任意一个个资产的的价格等等于其未未来可能能损益（（现金流流）的期期望值以以无风险险借贷利利率贴现现的贴现现值。问题：风险中性性概率与与实际中中各个状状态发生生的概率率之间有有什么关关系呢？？记为为未来第第j种状状态发生生的概率率，即统统计意义义上的概概率。就反映了了投资者者对不同同状态的的风险偏偏好程度度。如果对于于所有的的j＝1～M，，，即即：则称市场场是风险险中性的的。3、完全全市场与与不完全全市场完全市场场的定义义：一个具具有N种资产产，M种损益益状态态的市市场，，如果果对于于任意意一个个未来来损益益向量量d=（d1,d2,…,dM），都都存在在一个个N种资产产的组组合(θ1,θ2,…,θN)，其未未来损损益等等于（（d1,d2,…,dM），则则我们们称市市场是是完全全的。。定理2：在市场场不存存在套套利组组合的的假设设下，，市场场是完完全的的充要要条件件是只只有唯唯一的的一组组状态态价格格满足足定理理1中中的式式子，，即状状态价价格唯唯一或或者风风险中中性概概率唯唯一。。Arrow-Debreu模模型的的应用用1、两两状态态模型型2、三三状态态模型型两状态态模型型市场的的未来来损益益只有有两种种状态态，M＝2只存在在两种种资产产，一一种是是无风风险借借贷，，其借借贷利利率为为r另一种种是资资产s，当前前的价价格为为p。假设设资产产s在未来来的损损益为为：状状态1时为pu＝p×u，状态态2时为pd＝p×d，其中中u和d表示价价格变变化的的倍数数，假假设u>d。问题：：市场场不存存在套套利组组合的的条件件？比如：：资产s，当当前价价格为为100，，未来来两种种损益益分别别为：：110，，95。投投资周周期为为1年年，当当前年年利率率为5％。。问题：：存在在套利利组合合吗？？如何套套利？？根据定定理1：即：求解可得：方程求求解可可得：：即任意意一个个资产产，其其未来来损益益为：：在1状态时时d1，在2状态时时d2，都可可由资资产s和无风风险借借贷的的组合合复制制，而而且其其价格格v为：比如，，有一一基于资资产s的金融融产品品，其其未来来损益益为：：d1＝pu－k，d2＝0可解得得其价价格为为：三状态态模型型假设市市场有有三种种状态态，但但仅有有两种种资产产，无无风险险借贷贷，其其利率率为r；另外外一种种资产产s，价格格为p，其在在未来来损益益为：：状态态1时，损损益为为pu（即为为原价价格的的u倍）；；状态态2时为pm，状态态3时为pd，假设设d<m<u。市场不不存在在套利利组合合的条条件求解可得：根据定定理2，这这个方方程的的解不不唯一一实际上上是一一条直直线第一个个端点点第二个个端点点：如果，，则则为：：如果，，则则为：：谢谢谢1月-2301:13:0101:1301:131月-231月-2301:1301:1301:13:011月月-231月月-2301:13:012023/1/61:13:019、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:13:0201:13:0201:131/6/20231:13:02AM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2301:13:0201:13Jan-2306-Jan-2312、故人江海别别，几度隔山山川。。01:13:0201:13:0201:13Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2301:13:0201:13:02January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:13:02上午01:13:021月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:13上午午1月-2301:13January6,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/61:13:0201:13:0206January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。1:13:02上上午1:13上上午01:13:021月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:13:0201:13:0201:131/6/20231:13:02AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月-2301:13:0201:13Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。01:13:0201:13:0201:13Friday,January6,202313、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。1月-231月-2301:13:0201:13:02January6,202314、意意志志坚坚强强的的