多元统计的应用主成分分析

多元统计的应用主成分分析第一页，共二十三页，2022年，8月28日多元统计分析中由于变量较多，增加了分析问题的复杂性。实际问题中，变量之间可能存在一定的相关性，因此，多变量中可能存在信息的重叠。人们希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。

一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；因此，通过主成分既可以降低数据“维数”又保留了原数据的大部分信息。第二页，共二十三页，2022年，8月28日主成分分析也称主分量分析，由Hotelling(1933)首先提出。由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，希望通过线性组合的方式，从大量指标中尽可能快地提取信息。当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取的过程，……，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。主成分分析的数学模型是，设p个变量构成的p维随机向量为X=（X1，…，Xp）′。对X作正交变换，令Y=T′X，其中T为正交阵，要求Y的各分量不相关，并且Y的第一个分量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，……为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差和相等。

第三页，共二十三页，2022年，8月28日主成分的数学推导第四页，共二十三页，2022年，8月28日第五页，共二十三页，2022年，8月28日第六页，共二十三页，2022年，8月28日第七页，共二十三页，2022年，8月28日第八页，共二十三页，2022年，8月28日第九页，共二十三页，2022年，8月28日第十页，共二十三页，2022年，8月28日

主成分的一般性质第十一页，共二十三页，2022年，8月28日第十二页，共二十三页，2022年，8月28日第十三页，共二十三页，2022年，8月28日第十四页，共二十三页，2022年，8月28日第十五页，共二十三页，2022年，8月28日主成分的方差贡献率第十六页，共二十三页，2022年，8月28日第十七页，共二十三页，2022年，8月28日实际应用中主成分分析的出发点第十八页，共二十三页，2022年，8月28日第十九页，共二十三页，2022年，8月28日主成分分析进行综合评价对某个系统进行综合评价时会遇到如何选择评价指标体系,如何对这些指标进行综合的困难。一般情况下，选择评价指标体系后通过对各指标加权的办法来进行综合。但是，如何对指标加权是一项具有挑战性的工作。指标加权的依据是指标的重要性，指标在评价中的重要性判断带有一定的主观性，影响综合评价的客观性和准确性。主成分分析能从选定的指标体系中归纳出大部分信息，据主成分提供的信息进行综合评价，不失一个可行的选择。对主成分进行加权综合。我们利用主成分进行综合评价时，将原有的信息进行综合，因此，要充分利用原始变量提供的信息。将主成分的权数根据它们的方差贡献率来确定，因为方差贡献率反映了各个主成分的信息含量多少。第二十页，共二十三页，2022年，8月28日第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日相关的R函数及实例princompprincomp(formula,data=NULL,subset,na.action,...)formula:公式，data:数据框princomp(x,cor=FALSE,scores=TRUE,covmat=NULL,subset=rep(TRUE,nrow(as.matrix(x))),...)x:数据(矩阵或数据框),cor:逻辑变量，true表示用样本相关矩阵R进分析,False(默认值)表示用样本协方差阵进行分析.predict(object,newdata,...)预测主成分的值loadings(x)显示荷载因子矩阵summary(object,…)第二十二页，共二十三页，2022年，8月28日screeplot(x,npcs=min(10,length(x$sdev)),type=c(“barplot”,“lines”),main=deparse(substitute(x)),...)画出碎石图x:由princomp()得到的对象，npcs:主成分个数，type碎石图的类型，直方图、直线图。biplot(x,y,var.axes=TRUE,col,cex=rep(par(“cex”),2),xlabs=NULL,ylabs=NULL,expand=1,xlim=NULL,ylim=NULL,arrow.len