多元统计分析第三章

多元统计分析第三章第一页，共三十二页，2022年，8月28日本章学习目标熟练掌握多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验的基本思想、基本步骤以及统计量的选取。掌握Hotelling分布和Wilks分布的定义。会运用假设检验的方法解决实际的问题。第二页，共三十二页，2022年，8月28日假设检验的步骤第一步：提出待检验的假设和；第二步：给出检验的统计量及它服从的分布；第三步：给定检验水平，查统计量的分布表，确定临界值，从而得到否定域；第四步：根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策。第三页，共三十二页，2022年，8月28日3.1均值向量的检验Hotelling分布均值向量的检验单个正态总体均值向量的检验协差阵已知时的检验协差阵未知时的检验两个正态总体均值向量的检验协差阵相等时协差阵不等时多个正态总体均值向量的检验第四页，共三十二页，2022年，8月28日3.1均值向量的检验

1Hotelling分布⑴定义：设则统计量的分布为非中心Hotelling

分布，记为当，称服从（中心）Hotelling分布，记为。（这个统计量的分布首先由HaroldHotelling提出来的，我国著名统计学家许宝騄先生在1938年用不同的方法也导出了此分布的密度函数）

第五页，共三十二页，2022年，8月28日在一元统计中，若来自总体的样本，则统计量：

其中

显然，

与上面给出的统计量形式类似。分布是一元统计中分布的推广。第六页，共三十二页，2022年，8月28日

⑵基本性质：定理若令，则第七页，共三十二页，2022年，8月28日2均值向量的检验

设元正态总体，从总体中抽取容量为的样本

⑴已知时均值向量的检验

检验统计量：

给定检验水平，查分布表，可确定出临界值，再用样本值计算出，判断是否接受。

思考：统计量的选取，联系一元统计为什么取这样的统计量；二这个统计量为什么服从这样的分布。

第八页，共三十二页，2022年，8月28日

⑵未知时均值向量的检验

检验统计量：

其中给定检验水平，查分布表，确定出临界值,判断是否接受原假设。统计量的选取：当未知时，用的无偏估计来代替，而样本离差阵第九页，共三十二页，2022年，8月28日

Hotelling第十页，共三十二页，2022年，8月28日3协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验

（1）有共同协差阵时检验统计量：

给出检验水平，查表，确定出临界值。

思考：这个统计量当时是我们学习过的三大统计量中的哪一个？第十一页，共三十二页，2022年，8月28日

检验统计量：

其中：给定检验水平，做出判断第十二页，共三十二页，2022年，8月28日

下述假设检验统计量的选取和前面的思路是一样的，只给出统计量和分布。

4协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验

分两种情况：

⑴

令检验统计量：第十三页，共三十二页，2022年，8月28日

⑵，不妨假设令检验统计量：第十四页，共三十二页，2022年，8月28日5多个正态总体均值向量的检验复习一元方差分析Wilks分布多个正态总体均值向量的检验第十五页，共三十二页，2022年，8月28日5多个正态总体均值向量的检验⑴复习一元方差分析（单因素方差分析）多元方差分析是一元方差分析的推广，先复习一元方差分析。第十六页，共三十二页，2022年，8月28日

⑵Wilks分布

在一元总体中，方差是刻划随机变量分散程度的一个重要特征，而方差概念在多变量情况下变为协差阵。使用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度的方法很多，我们用行列式这种方法。第十七页，共三十二页，2022年，8月28日

定义1

若，则称协差阵的行列式为的广义方差。称为样本广义方差。其中。

定义2

若且和相互独立，则称为Wilks统计量，的分布称为Wilks分布，其中为自由度在实际应用中，经常把统计量化为统计量进而化为统计量，利用统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。

第十八页，共三十二页，2022年，8月28日

①

得到下面的关系式：

②

第十九页，共三十二页，2022年，8月28日对一些特殊的统计量可以化为统计量，而当，可用统计量或统计量来近似表示。第二十页，共三十二页，2022年，8月28日

⑶多个正态总体均值向量检验

第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日

第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日

给定检验水平,查Wilks分布表，确定临界值，作出判断。当查Wilks分布表不方便时，可用的或来近似。

想一想：Wilks分布与，的关系。

第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日

3.2协差阵的检验一个正态总体协差阵检验多个协差阵相等检验第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日

1一个正态总体协差阵检验

第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日2.多个协差阵相等检验

第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日第二十九页，共三十二页，2022年，8月28日

例1

人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系。今测20名健康成年女性的出汗多少其数据如下：第三十页，共三十二页，2022年，8月28日