湖南省八校2023届高三上学期第二次联考(数学理)

湖南省八校2023—2023学年度高三年级联考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以石得山将被处罚的汽车人约有()A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆2．若，则下列不等式中不一定成立的是 （） A．B．C．D．∣∣>3．已知集合，，则 （） A． B． C． D．4．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 （） A．B． C．∪ D．∪5．已知函数的值域是，则它的定义域可以是（） A． B． C． D．6．已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为（） A． B． C． D．7．函数是 （） A．周期为的偶函数 B．周期为的非奇非偶函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的非奇非偶函数8．已知函数，其中，则使得在上有解的概率为 （） A．B． C．D．9．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则与的大小关系为 （） A． B． C． D．不确定10．平面向量的集合A到A的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是 （） A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是_________．12．如图，在△ABC中，于H，M为AH的中点，若，则_________．13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为_________．14．若等差数列的前项和为，且，，，则_________．15．给出定义：若（其中为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作，即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心；③函数的最小正周期为1；④函数在上是增函数；则其中真命题是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分10分） 已知等比数列中，，分别为的三内角的对边，且．（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式．17．（本小题满分12分） 已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为．（1）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（2）若三点共线，求的值．18．（本小题满分12分） 若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间内，记点对应的区域为．（1）设，求的取值范围；（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程．19．（本小题满分13分） 已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”．（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得对任意的恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分） 已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若以F2为圆心，为半径作圆F2，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且|PT|的最小值不小于．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k>0）的直线与椭圆相交于A，B两点，若，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．21．（本小题满分14分） 已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设．（1）求数列{xn}的通项公式；（2）记，数列的前项和为Sn，试比较Sn与的大小；（3）记，数列{dn}的前n项和为Tn，试证明：．参考答案1．B2．B3．D4．A5．A6．C7．B8．A9．C10．B11．12．13．14．1215．①③16．解：（1）依题意知：，由余弦定理得：，（3分）而，代入上式得或，又在三角形中，或；（6分）（2），即且，（8分）又，所以，或．（10分）17．解：依题意知：，设点的坐标为，则：，所以，点的坐标为．（2分）（1），，（4分）由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，（6分）所以，其值域为；（8分）（2）由三点共线得，（10分）∴，．（12分）18．解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内， 由此可得不等式组，即，则在坐标平面内， 点对应的区域如图阴影部分所示， 易得图中三点的坐标分别为，（4分）（1）令，则直线经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，即，又三点的值没有取到，所以；（8分）（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．（12分）19．解：（1）函数的反函数是，，，而，其反函数为,故函数不满足“1和性质”；（6分）（2）设函数满足“2和性质”，，而，得反函数．由“2和性质”定义可知=对恒成立，即函数，，在上递减，（9分）所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立．，，易得．而知，所以．综合以上有当使得对任意的恒成立．（13分）20．解：（1）依题意设切线长，∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而，（2分），，从而解得，故离心率的取值范围是；（6分）（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组，得，设，则有，，代入直线方程得，，又，，（10分）