湖北省五校重点中学2023-2023学年高二上学期期中统考数学试题

湖北省五校重点中学2023-2023学年高二上学期期中统考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）。1.360和504的最大公约数是（） A.72 B.24C.2520 D.以上都不对2．在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，为坐标原点，则等于（）A.B.C.D.3．若直线：+与直线：互相垂直，则的值为（）A．B．C．或D．1或4、点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心5．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞6、在下列关于直线、与平面、的命题中,正确的是（）A.若且,则，B.若且,则.C.若且,则，D.若且,则7.用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为() A.－845 B.220 C.－57 D.348、如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 （）NMA． B．NMC． D．9、已知直线与平面所成的角为30°，为空间一定点，过作与、所成的角都是45°的直线，则这样的直线可作（）条A．2 B．3 C．4 D．无数10.直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为()A.2B.3C.4D.5INPUTxIFx<0THENINPUTxIFx<0THENy=(x+1)(x+1)ELSEy=(x-1)(x-1)ENDIFPRINTyEND（第11题）程序11．在运行下面的程序之后输出y＝16，输入x的值应该是。（12.完成下列进位制之间的转化：101101（2）＝_____（10）=____（7）13．。14．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是。15．将边长为2，一个内角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点分别为的中点，则下列命题中正确的是。①∥；②；③有最大值，无最小值；④当四面体的体积最大时，；⑤垂直于截面.三、解答题（本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。16、（本小题满分12分）已知直线（1）证明：直线过定点；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程。17.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为.（1）求的值；（2）求直线与平面BMN所成角的正弦值.18．(本题满分12分)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：及其内部覆盖．（1）求圆C的方程；（2）斜率为1的直线与圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．19．（本题满分12分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。20．（本小题满分13分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切.（1）求圆C的方程；（2）设直线：与圆C相交于A、B两点，求实数的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．21、（本题14分）已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点作圆的两条弦，且互相垂直，求的最大值。数学试卷参考答案一、选择题题号12345678910答案ABDBDBCAAC二、填空题11、）-5或5；12、45（10），63（7）；13、或；14、6；15、②④⑤。三、解答题17.（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．∵∠ADC＝∠BCD＝90，AD＝2BC＝2，N是AD的中点，∴BN⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BN⊥平面PAD，∴BN⊥NE，则∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，∠DNE＝30．……………3分∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60，∴∠DEN＝90，∴DE＝eq\f(1,4)DP，∴CM＝eq\f(1,4)CP，故eq\f(PM,MC)＝3----------------6分（Ⅱ）连结BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连结PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，∴PB＝eq\r(PN2＋BN2)＝eq\r(PN2＋CD2)＝eq\r(6)，--------------9分又PE＝eq\f(3,4)PD＝eq\f(3,2)，∴sin∠PBE＝eq\f(PE,PB)＝eq\f(\r(6),4)．所以直线PB与平面MBN所成的角为eq\f(\r(6),4)------------12分AACBDPNME18．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部，且⊿是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆-------------2分故圆心是（2,1），半径是，所以圆C的方程是=5----------6分（2）设直线的方程是：-----------------7分因为⊥,所以圆C到直线的距离是--------------10分解得所以直线的方程是：---------------12分（2）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．……8分∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．………………10分设，则，，∴，∴．………12分20、解：（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，可设圆心坐标为，由题意可列方程，解得，所以圆心坐标为（），半径为，所以圆的方程为。-----------------5分(2)联立方程，消得，由于直线与圆交于两点，所以，解得，所以的取值范围是（）------8分（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心必在上