山东省泰安市宁阳第五中学2023年高二数学理月考试卷含解析

山东省泰安市宁阳第五中学2023年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．2.下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“x0∈R，x＋x0－1＜0”的否定是“x∈R，x2＋x－1＞0”C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题参考答案：D3.我们规定：若一系列函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。则函数解析式为值域为的“同族函数”个数为（）A、7

B、8

C、9

D、10参考答案：C4.如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则与所成角的余弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()

A．120

B．720

C．1440

D．5040参考答案：B略6.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知，是单位向量，且，向量与，共面，，则数量积=（）A.定值－1 B.定值1C.最大值1，最小值－1 D.最大值0，最小值－1参考答案：A【分析】由题意可设，，再表示向量的模长与数量积，【详解】由题意设，则向量，且，所以，所以，又，所以数量积，故选：A．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

8.下列几个命题中，真命题是(

)A．l，m．n是空间的三条不同直线，若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．α，β，γ是空间的三个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．两条异面直线所成的角的范围是（0，π）D．两个平面相交但不垂直，直线m?α，则在平面β内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断A；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断B；由异面直线所成角的范围判断C；设平面α、β的交线为n，当m与n不平行时β内不存在直线与m平行，但不论m在α内的位置如何，由两个平面相交但不垂直，可知m在平面β内的射影直线存在，平面β内垂直于m在β内射影的直线必与m垂直．【解答】解：由m⊥l，n⊥l，可得m，n的位置关系有三种，平行、相交和异面，∴选项A不正确；由α⊥γ，β⊥γ，可得α∥β或α与β相交，∴选项B不正确；两条异面直线所成的角的范围是（0，]，∴选项C不正确；两个平面α、β相交但不垂直，设交线为n，直线m?α，只有当m∥n时，在平面β内存在直线与m平行，否则在平面β内不存在直线与m平行；但平面β内垂直于m在β内射影的直线必与m垂直．∴选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与直线，平面与平面间的位置关系，考查了学生的空间思维和想象能力，是中档题．9.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是

．参考答案：略12.为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是．参考答案：【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求出所求．【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，∴高三每一位学生被抽到的概率是

．高一年级每一位学生被抽到的概率是故答案为：．13.直线(a-1)x+(3a+2)y-5=0(a为实数)一定经过定点_________。参考答案：（-3，1）14.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．15.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=． 参考答案：8【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+求得答案． 【解答】解：抛物线焦点为（1，0） 则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0 ∴x1+x2=6 根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8 故答案为：8 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．16.已知等差数列的第r项为s，第s项为r（0<r<s），则_______．参考答案：略17.定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，。已知，则的坐标为_________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，.（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数的极小值不小于，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）和；（Ⅱ）.【分析】（I）先求得的表达式，然后利用导数求得的单调递减区间.（II）求得的解析式和它的导数.对分成两者情况，通过的单调区间，求得的极小值，根据极小值不小于列不等式，利用构造函数法解不等式求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由题可知，所以

由，解得或.

综上所述，的递减区间为和.（Ⅱ）由题可知，所以.（1）当时，，则在为增函数，在为减函数，所以在上没有极小值,故舍去；

（2）当时，，由得，由于，所以，因此函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，所以极小值

即.令，则上述不等式可化为.上述不等式①设，则，故在为增函数.又，所以不等式①的解为，因此，所以，解得.综上所述.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求与函数极值有关的问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.19.

参考答案：解析、解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD,

∴AE∥MF且AE=MF.∴四边形AFME是平行四边形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE,

∴AF∥平面PCE.

4分(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD．

又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=.

∴FH=.

8分(3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影.

∴∠PCA就是PC与底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,

∴sin∠PCA==,即PC与底面所成的角是arcsin.

12分解法二：(1)证明:取PC中点M,连结EM,∵=+=+=+(+)=++=++=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC．

4分(2)解:以A为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,

∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0.

解得y=－x

,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).又=(0,1,－1),故点F到平面PCE的距离为d===.

8分(3)解:

∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC与底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,

sin∠PCA==,即PC与底面所成的角是arccos. 12分20.（本题12分）

设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为。（1）求曲线的方程；（2）若点的坐标为，是曲线上的两个动点，并且，求实数的取值范围；（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。参考答案：（1）设：，又，，即所求曲线方程为

（2）设：，则由可得故在曲线上，消去，得，又解得又且

（3）设直线为，则得：解得：①且则直线为由在直线上②由①②得。

21.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，是中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）证明:因为是直三棱柱，

所以，又，即.

………………2分如图所示，建立空间直角坐标系.,,,，所以，，.

………………4分又因为，，

………………6分所以，，平面.

………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的法向量，

………………9分

，