2019届高考数学复习导数及其应用第2讲第3课时导数与函数的综合问题练习理北师大版

第2讲第3课时导数与函数的综合问题、选择题1.方程X3—6x2+9x—10=0的实根个数是( )A.3B.2C.1D.0解析设f(x)=x3—6x2+9x—10,f'(x)=3x2—12x+9=3(x—1)(x—3),由此可知函数的极大值为f(1)=—6<0,极小值为f(3)=—10V0,所以方程x3—6x2+9x—10=0的实根个数为1.答案CTOC\o"1-5"\h\z2.若存在正数x使2x(x—a)<1成立，则实数a的取值范围是( )A.(—8,+OO) B.(—2,+oo)C.(0,+°°) D.(-1,+8)x 1斛析:2(*—a)<1,•1-a>x-2x..一 1一, x令f(x)=x—逢f (x)=1+2In2>0.•.f(x)在(0,+8)上单调递增，f(x)>f(0)=0-1=-1,・，・实数a的取值范围为(—1,+8).答案D3.(2017•山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)—xf'(x)>0,则( )A.3f(1)<f(3) B.3f(1)>f(3)C.3f(1)=f(3) D.f(1)=f(3)解析由于f(x)>xf'(x),则―]=xf'(x)x2-f(x)<0恒成立，因此一在R上是单调递减函数，f?<匚乎一，即3f(1)>f(3).3 1答案B4.(2017•德阳模拟)方程f(x)=f'(x)的实数根x4.(2017•德阳模拟)方程f(x)=f'数g(x)=lnx的“新驻点”为a,那么数g(x)=lnx的“新驻点”为a,那么a满足(A.a=1B.0<a<1C.2<a<3D.1<a<21解析:g'(x)=-,xlnx=lx设h(x)=lnx-1,x则h(x)在(0,+°°)上为增函数.又h(1)=—1<0,h(2)=ln2-2=ln2—In/>0,h(x)在(1,2)上有零点，，1<a<2.f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示.当1<a<2时，函数y=f(x)—a的零点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析根据导函数图像，知 2是函数的极小值点，函数 y=f(x)的大致图像如图所示由于f(0)=f(3)=2,1<a<2,所以y=f(x)—a的零点个数为4.答案D二、填空题.已知函数y=x3—3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c=.解析设f(x)=x3-3x+c,对f(x)求导可得，f'(x)=3x2—3,令f'(x)=0,可得x=±1,易知f(x)在(一8,—1),。，+8)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，若f(1)=1-3+c=0,可得c=2;若f(—1)=—1+3+c=0,可得c=-2.答案—2或2.若函数f(x)=ax-lnx在g,+00八单调递增，则实数a的取值范围为.解析由已知得「(x)=a—x>0X^?xC+°°,亘成立，.二a〉.^?xCQ,+0°j恒一11成立，:x\=2,，a>2.2答案[2,+8).(2017•安徽江南名校联考)已知xC(0,2),若关于x的不等式2vl—1——2恒成立，则ek+2x—x实数k的取值范围为.解析依题意，知k+2x—x2>0.即k>x2-2x对任意x€(0,2)恒成立，从而k>0,ex2 、因此由原不等式，得k<—+x-2x恒成立.x令f(x)=ex+x2-2x,则f'(x)=(x—1)l*+2.令f'(x)=0,得x=1,当xC(1,2)时，f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x\(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减,所以k<f(x)min=f(1)=e-1,故实数k的取值范围是［0,e-1).答案［0,e-1)三、解答题.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x>0,都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围.解令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则g'(x)=ln(x+1)+1—a.(1)当awl时，1-a>0, x>0,ln(x+1)>0,.•.gz(x)>0, g(x)在［0,+8)上是增函数，•g(x)>g(0)=0,，当awl时，(x+1)ln(x+1)>ax对x>0都成立.(2)当a>1时，令g'(x)=0解得x=e”1—1.当0<x<ea1—1时，g'(x)<0；当x>ea1—1时，g'(x)>0,.g(x)在(0,e"1—1)上递减，在(e”1—1,+00)上递增，a-1••g(e-1)<g(0)=0,，当a>1时，不是对所有的x>0,都有f(x)nax成立.综上，由⑴(2)可知，实数a的取值范围是(一巴1］.10.(2017・武汉调研)已知函数f(x)=lnx-a(XT)(a€R).x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：不等式(x+1)lnx>2(x-1)X^?xC(1,2)恒成立.. 、、，.》 .x—a⑴解定义域为(0,+8),「(刈=—^.x①aW0时，f'(x)>0,f(x)在(0,+8)上为增函数；②a>0时，f(x)在(a,+8)上为增函数，在(0,a)上为减函数.(2)证明法-,.x€(1,2),x+1>0,2(x—1)，要证原不等式成立，即证lnx>————又^?xC(1,2)恒成立，令g(x)=lnx十12(x—1)12.(2014•全国I卷)已知函数f(x)=ax3—3x2+1,若f(x)存在唯一的零点X0,且X0>0,则实数a的取值范围是( )A.(2+0°)B.(—00,一2)则实数a的取值范围是( )A.(2+0°)B.(—00,一2)C.(1+0°)D.(—00,一1)解析法一由题意aw0,由「(x)=3ax2—6x=0得x=0或x=—.a当a>0时，f(x)在(一8,0)和2aA,C.且f(0)=1>0,故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A,C.当a<0时，要使x0当a<0时，要使x0>0且唯一，只需f।,即a2>4,a<-2,故选B.法二f(x)有唯一正零点xc,等价于方程ax3-3x2+1=0有唯一正根x0,即a=3」有

xx唯一正根xa.人3 1, 3(1—x)(1+x)令g(x)=-一孑g(x)= x7 ，g(x)在(—8,—1)上递减，(—1,0)上递增，(0,1)上递增，(1,+8)上递减又g(-1)=-2,g(1)=2,且当x<-1时，g(x)<0,当x>1时，g(x又g(-1)=-2,g(x)的大致图像如图：，直线y=a与y=g(x)有唯一交点，且横坐标xq>0,只需a<g(-1)=-2.答案B13.(2017•西安模拟)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)<f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为( )A.(—8,0) B.(—8,2)C.(0,+°°) D.(2,+8)解析设g(x)=f(x),贝Ug'(x)=f (x，xf(x),e ef(x)<f'(x),g'(x)<0,g(x)在R上为减函数,-f(0)=2, g(0)=f(0)=2,xf(x)口•1f(x)<2e，.二 x—<2,即g(x)<g(0),e••.x>0,••.不等式的解集为(0,+oo).答案C14.(2017・广州调研)已知函数f(x)=e〜m—x,其中m为常数.(1)若对任意xCR有f(x)RO恒成立，求m的取值范围；(2)当m>1时，判断f(x)在［0,2m上零点的个数，并说明理由.解(1)依题意，可知f'(x)=e~m—1,令f'(x)=0,得x=m故当xC(—8,m时，ex-m<1,f'(x)<0,f(x)单调递减；当xe(mT,+8)时，exm>1,fz(x)>0,f(x)单调递增.故当x=m时，f(m)为极小值也是最小值.令f(m)=1-m>0,得mK1,即对任意xCR,f(x)RO恒成立时，m的取值范围是(—8,1］.f(x)在［0,2m上有两个零点，理由如下：当m>1时，f(m)=1-m<0.••f(0)=em>0,f(0)-f(m)<0,且f(x)在(0,m)上单调递减.•.f(x)在(0,m上有一个零点.又f(2m)=em-2m令g(m)=em—2m则g'(m)=em—2,丁当m>1时，g'(m)=em-2>0,g(m)在(1,+°°)上单调递增.g(m)>g(1)=e-2>0,即f(2m)>0.f(m)-f(2m)<0, f(x)在(m,2m上有一个零点.故f(x)在［0,2m上有两个零点.x+1 '(x—1)2g'(x)= 2—，1•g(x)在(0,+8)上为增函数，k*********x十1)t 1 2(1—1)・•・当xC(1,2)时，g(x)>g(1)=ln1——1^;^=0,...皿x>2_Cx__H_又^?xe(1,2)恒成立，xII..(x+1)lnx>2(x—1)卞:寸？xC(1,2)恒成立.法二令F(x)=(x+1)lnx-2(x-1),F(x)=lnx+x^-2,x=lnx-匕.x令(Hx)=lnx-x—,由(1)知a=1时，x(f)(x)在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数..x€(1,2),则<f)(x)在(1,2)为增函数,<f)(x)>力(1)=0,即xC(1,2),F'(x)>0, F(x)在(1,2)上为增函数，•••F(x)>F(1)