河南省洛阳市2023届高三第一次统一考试数学(理)试题

洛阳市2023-2023学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数为纯虚数，且（其中），则（）A．B．C．2D．3.函数的图像大致为（）4.在区间内随机取两个实数，则满足的概率是（）A．B．C.D．5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C.48种D．60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C.D．7.已知双曲线，过左焦点的直线切圆于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C.D．8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据，判断下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C.D．9.已知实数满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C.D．10.设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（）A．B．C.D．11.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C.D．12.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则．14.数列首项，且，令，则的前2023项的和．15.的展开式中含有的项的系数为．16.若函数在上仅有一个零点，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，是直角斜边上一点，.（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长.18.如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.19.已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.20.为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元，试计算居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.21.已知函数.（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为.（1）求直线的斜率；（2）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDD6-10:ACDAA11、12：DB二、填空题13.14.15.-2116.三、解答题17.（1）在中，根据正弦定理，有，∵，∴，又，∴，于是，∴.（2）设，则，，，于是，，，在中，由余弦定理，得，即，，故.18.证明：（1）连接，交于点，设中点为，连接，∵分别为的中点，∴且，∵且，∴且，∴四边形为平行四边行，∴，即，∵平面，平面，∴∵是菱形，∴，∵，∴平面，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵直线与平面所成角为，∴，∴，∴，故为等边三角形，设的中点为，连接，则，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，∴设平面的法向量为，则，即，令，则，∴设二面角的大小为，由于为钝角，∴即二面角的余弦值为.19.（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.∵∴又解得∴椭圆方程为（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为，又（为三角形内切圆半径），∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.设直线的方程为：，，则消去得，∴∴令，则，∴令，当时，，在上单调递增，∴，当时取等号，即当时，的面积最大值为3，结合，得的最大值为，∴内切圆面积的最大值为.20.（1）元（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3故的分布列为∴（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知（）解得：，∴当时概率最大，∴.21.（1）法一：若时，则，令，在上单调递增，则则在上单调递增，①当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若，由在上单调递增，由于，，故，使得，则当时，∴函数在上单调递减，∴，不恒成立，舍去，综上所述，实数的取值范围是.法二：若时，，①，令，则，在上单调递增，则，故∴函数在上单调递增，∴成立.②若，由∴函数在上单调递增，由于，，故，使得，则当时，∴函数在上单调递减，∴，不恒成立，舍去，综上所述，实数的取值范围是.（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，则，即∴∴，即.22.（1）消去参数得曲线的普通方程（ⅰ）将曲线化为直角坐标方程得：（ⅱ）由（ⅰ）-（ⅱ）化简得：，即为直线的方程，故直线的斜率为2.（2）由，知直线是以为圆心，半径为1的圆，由，知曲线是以为圆心，半径为2的圆，∵∴当取