二轮复习专题-数学文化

二轮复习专题■数学文化专题一、数列中的数学文化题.我国古代著名的思想家庄子在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把'一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（）C.D.C.D.A.a——nB.a=n2n2 n.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）b|•钱3,, b|•钱3,, 4,.C.2钱 D.3钱.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走78里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192里 B.96里C.48里 D.24里.《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中.间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列.在这个问.题中的中间两节容量分别是（）••A.674166升、33升B.A.674166升、33升B.2升、3升C.3767.37.D.66升、33升.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1是较小的两份之和，问最大的一份为.7.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为%则a14+%+a16+a17的值为（）A.55B.52C.39D.26.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,...,9填入3x3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15（如图）.一般地，将连续的正整数1,2,3,…，n2填入nxn的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的第1页共8页

和为3（如：在3阶幻方中，N3=15），则N「（）A.1020B.1010C.510D.505.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列与｝称为“斐波那契数列”，则°1+°2+:2+…+02015是斐波那契数列中的第项.a2015二、几何中的数学文化题.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1（弦X矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所2对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积/X与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为生，半径等于4米的弧田.按照上述方法、、:3计算出弧田的面积约为（）A.6平方米B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3|■寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛处1.62立方尺，加心3）,则圆柱底面圆周长约为（）A.1丈3尺B.5丈4尺 C.9丈2尺D.48丈6尺.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）"，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF〃平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈 D.8立方丈.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图1,图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图第2页共8页和俯视图分别可能是（）图］国2图］国2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d心V.人们还用过一些类似的近似公式，根据n=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（A.d心"\;'¥VB.d心32VC.d心”\J300V D.d心飞,^^V.我国南北朝时期数学家、天文学家一一祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幕势既同，则积不容异”.“幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幕势同”，则该不规则几何体的体积为）n 4nA.4—2 B.8——C.8—n D.8—2n.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1）,即可求得球的体积公式.请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以V2x2下问题：已知椭圆的标准方程为：泰+彳=1，将此椭圆绕V轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）,.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分第3页共8页

成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为.（容器壁的厚度忽略不计）.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注日：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为工，高为3,且上底面的周长为6,则2该棱台的体积的最大值是（）63A.14 B.56 C.— D.634三、算法中的数学文化题相减损.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12,则输出的a=（）C.0 C.0 D.14.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=（）A.2 B.3C.4D.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为（）」始 A.20B.61C.183 D.548第4页共8页.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（ ）（参考数据：V3=L732,sin15°«0.2588,sin7.5。。0.1305）A.12B.24C.48D.965.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量,5.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图经出生的天数是（）示可知，孩子已D.3603A.336B后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图经出生的天数是（）示可知，孩子已D.3603A.336B.510C. 1326.辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法.它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》.图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法.若输入m=5280,n=12155,则输出的m的值为..中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表I 1 3 4 5 5 7 S9知I II III Illi lllllTT ITM横式 建」_=LL±表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：_LT_UI，则9117用算筹可表示为（ ）A.占|_TB.W_ITC.I_±D.i_I±.计算机是将信息转化为二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”若1011⑵表示二进制数，将它转换11…1 21V.成十进制数式是1义23+0*22+1*21+1义20=11了么二进制数2011⑵转换成十进制数形式是（）第5页共8页C.22012-1D.22013TA.2C.22012-1D.22013T四、概率统计中的数学文化题1.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A.B.C1.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A.B.C.D.2.欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.”可见”行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”之，自钱孔入，而钱不湿.”可见”行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的‘勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中兀较小的锐角a二不，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是（）4—<3C. 五、其它知识中的数学文化题（三角、不等式、函数、解几）.欧拉公式ex=cos%+isin%是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧H 3Z.拉公式，复数e4l.e4'+（1+M的虚部是（）A.-1B.1C.-2D.2.关于圆周率兀，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计兀的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（%，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（%，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计兀的值.假如统计结果是m=56，那么可以估计兀氏.（用分数表示）.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，n大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为仇那么tan（0+j=.设Q0,Q0,则黑为a，b的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，AC=a,CB=b,。为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线，垂第6页共8页足为E则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数，线段CD的长度是a,b足为E则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数，线段CD的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数.5.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行.若用2C1和2c2分别表示椭圆轨用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和H的长轴长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；a1—c1=a2—c2；c1<c;a1a2c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是（）A.①③B.①④ C.②③ D.②④二次变轨进入仍道I和n的焦距.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆错误!未找到引用源。的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆错误!未找到引用源。,其“优美函数”有无数个;②函数fG）=lnx2+Jx2+1可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数>=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形.其中正确的命题是：（ ）A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A—BCD中，AB，平面BCD.且BD±CD,AB=BD=CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）第7页共8页.古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知三角形ABC满足条