《归纳-猜想-论证》设计 全省一等奖

《归纳—猜想—论证》教学设计教学目标1.经历“归纳—猜想—论证”的思维过程，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。３.通过实验、观察、尝试，培养他们的科学探究能力。教学重点“归纳—猜想—论证”的思维方法。教学难点“归纳—猜想”能力的培养。课时安排2课时教学过程【教学脉络】以“归纳—猜想—论证”思想方法的“复习－应用－延拓－再应用”为主线展开设计。1.复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（从问题引出课题）【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？【学生】【教师】这个等式很简洁，很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）【设计意图】这道题目的结果体现一种简洁美，给人美的享受，可以培养学生数学审美情趣。问题难度不大，每个学生都能理解，可以比较完整地复习“归纳—猜想—论证”的思想方法。因为通常我们可以先考虑用数学归纳法完成猜想的证明，所以我们选择引例采用数学归纳法证明。证明：1.当时，猜想成立。2.假设时，则当时，所以，时猜想也成立。综上，对任意的猜想都正确。【问题】如果直接给你这样一个问题.你该怎么做？【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想是否正确，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）【设计意图】让学生用自己的语言根据刚刚解决的实例总结“归纳—猜想—论证”解决问题的思维过程，增强学生理解的深度，教师进行适当补充直接点题。2.应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题【例1】设定义在上的函数，如果，那么.【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。【设计意图】这也是一个数列问题，目的是让学生练习应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，教师引导学生深刻体会“归纳—猜想—论证”的思想方法，既是练习也是例题。放在这节课，【例1】难度比前面引例的难度大，比后面【例2】的难度小，体现教学难度的层层推进，螺旋上升。作为“归纳—猜想—论证”在其它问题中应用的一个过渡，给学生搭建拾级而上的台阶，为学习后面的【例2】做好铺垫。【教师】到目前为止，我们应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在说话，而后面【例2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳—猜想—论证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡）。【例2】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则.（1）高斯和高斯函数简介：见课件。【设计意图】提高学生的数学文化修养，课后还有配套习题：【4】画高斯函数的图像。画图像时，也是先画简单的情形，再归纳出一般的图像，体现了归纳猜想的思想方法在解决函数问题的应用。（2）分析：空间问题有时比较复杂，比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的具体化呢？可以先考虑（直线上的情况）,再考察（平面上的情况）。讨论清楚直线和平面的情况，画出图形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。（教学方法：启发式）【教师】点评：空间问题有时比较复杂，比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究平面，直线上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法(再次点题)。【设计意图】这是一道非常漂亮的试题，可谓鬼斧神工，难度较大，但如果思考的方法恰当，解决起来也不是很困难。这道空间几何问题，涉及到高斯函数，所以这道题目除了可以培养学生“归纳—猜想”的能力外，还可以培养学生的空间想象能力，以及数学文化修养。选这道题目的目的是想告诉学生“归纳—猜想—论证”的思想方法不但可以解决与数列相关的问题，也可以解决一些和正整数看起来无关的问题（其实，空间是三维的，平面是两维的，直线是一维的，我们可以对问题的维数进行归纳猜想），所以空间问题也可应用“归纳—猜想—论证”的方法解决。此处是本节的重头戏，也是高潮。我们没有直接采用分类讨论解决空间问题，而是采用归纳猜想的方法，也就是说不光为了解决具体问题，而是在解决问题的过程中寻找一般性的处理问题的方法，即使分类讨论的方法本身也可以通过归纳得到。小试牛刀（下面我们做几个练习）【1】设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（）. A．0 B．1C．D．【2】在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为.若为正奇数，则.【设计意图】练习应用归纳猜想思想方法解决非数列问题，继续延拓方法应用的范围。【1】中，就是2022年高考试题；【2】中，就是2022年高考试题，所以问题具有代表性和典型性。这两道试题如果应用归纳猜想，问题解答就比较容易了。在【1】中分别取就能得到答案，在【2】中分别取，就可以归纳猜想出结论。【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设（，是正奇数）时，猜想成立，则当.时，要证明的等式是.【设计意图】【2】的具体证明已经超出了课程标准和考试大纲，而关于这道题的证明自然地设计了这样一个框架性问题，检测学生对数学归纳法本质的理解，也是对证明的思考，体现“归纳—猜想—论证”思维过程的完整性(由于本节课不是复习数学归纳法，所以这个问题我们作为机动问题，要看课堂时间是否允许)。小节提升1.“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性。3.“归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的