2023新高考全案-第2章-函数与基本的初等函数-第8讲-函数的图像

第2章第8讲一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称[解析]∵f(－x)＝eq\f(1,－x)－(－x)＝－(eq\f(1,x)－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．[答案]C2．函数y＝1－eq\f(1,x－1)的图象是以下图象中的()[解析]x≠1，y≠1且y＝1－eq\f(1,x－1)是由y＝－eq\f(1,x)平移而得，选B.[答案]B3．(2023·北京)为了得到函数y＝lgeq\f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度[解析]A．y＝lg(x＋3)＋1＝lg10(x＋3)，B．y＝lg(x－3)＋1＝lg10(x－3)，C．y＝lg(x＋3)－1＝lgeq\f(x＋3,10)，D．y＝lg(x－3)－1＝lgeq\f(x－3,10).故应选C.[答案]C4．设函数y＝f(x)的定义域为R，那么函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称[解析]函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．将y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移1个单位，就得到y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象．对称轴y轴向右平移1个单位，就得到直线x＝1，应选D.也可以用特例判断，取f(x)＝x，那么f(x－1)＝x－1，f(1－x)＝1－x在同一坐标系下作出这两个函数的图象来判断．[答案]D5．函数y＝2|log2x|的图象大致是()[解析]y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－log2x＝\f(1,x)0<x<1,2log2x＝xx≥1))∴选C.[答案]C6．(2023·课标，6)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()[解析]当P在初始位置时，t＝0，d＝eq\r(2)，故排除A、D；当P开始逆时针方向运动时，d减小，应选C.[答案]C二、填空题7．把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位，再把横坐标缩小为原来的eq\f(1,2)，所得图象的函数解析式是________．[解析]将y＝log3(x－1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位得到函数y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)－1))＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，再把得到的函数图象上的各点横坐标缩小为原来的eq\f(1,2)，得到的函数是y＝log3(2x－eq\f(3,2))．[答案]y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2)))8．函数f(x)是定义在(－3,3)上的偶函数，当0≤x<3时，f(x)的图象如以下图所示，那么不等式f(x)·x<0的解集是________．[解析]偶函数的图象关于y轴对称，画图可知，x<0时，f(x)>0的解集为(－3，－1)，x>0时，f(x)<0的解集为(0,1)．∴f(x)·x<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)[答案](－3，－1)∪(0,1)9．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．[解析]∵2－x＋x2＝3，∴2－x＝3－x2，作y＝2－x及y＝3－x2的图象如右图所示，由图可知原方程有2个实数解．[答案]210．函数图象C′与C：y＝eq\f(ax＋a2＋1,x＋a＋1)关于直线y＝x对称，且图象C′关于(2，－3)对称，那么a的值为________．[解析]由题意：函数C的图象关于(－3,2)对称，y＝a＋eq\f(1－a,x＋a＋1)，由－3＋a＋1＝0，得a＝2.[答案]2三、解答题11．函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都有f(2＋x)＝f(2－x)．证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．[证明]设点P0(x0，y0)在y＝f(x)上，P(x，y)与点P0关于x＝2对称所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－x0,y＝y0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4－x,y0＝y))∵y0＝f(x0)∴y＝f(4－x)又∵f(2＋x)＝f(2－x)∴f(x)＝f(4－x)即y＝f(4－x)＝f(x)∴点P(x，y)也在y＝f(x)上即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．12．函数f(x)＝m(x＋eq\f(1,x))的图象与h(x)＝eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,x))＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求m的值；(2)假设g(x)＝f(x)＋eq\f(a,2x)，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．[解](1)解法一：设P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，那么点P关于A点的对称点(x′，y′)在函数f(x)的图象上．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＋x＝0，,y′＋y＝2，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－x，,y′＝2－y.))于是有2－y＝m(－x－eq\f(1,x))，即得y＝m(x＋eq\f(1,x))＋2，∴m＝eq\f(1,2).解法二：易知h(x)经过点(1,3)，故f(x)经过点(－1，－1)，代入得m＝eq\f(1,2).(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,x))，故有g(x)＝eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,x))＋eq\f(a,2x)＝eq\f(1,2)(x＋eq\f(a＋1,x))，解法一：g′(x)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(a＋1,x2))．当0＜x≤eq\r(a＋1)(a≥－1)时，g′(x)≤0，∵g(x)在区间(0,2]上为减函数，故有eq\r(a＋1)≥2，得a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．解法二：任意取x1