中考数学专题复习-二次函数与一次函数的综合

中考数学专题——二次函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3).（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标.2．如图，抛物线交x轴于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求出该抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）若直线的解析式，请直接写出不等式的解集．3．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于O，A两点，点P（0，﹣6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C（点C在点B右侧），点C关于y轴的对称点为D.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）若BC＝2BD，求抛物线的解析式.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）求顶点D的坐标．（2）求的面积．5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.6．抛物线y＝ax2＋bx﹣2与x轴交于点A和B（﹣1，0），与y轴交于点C，直线y＝﹣x＋m过A，C两点，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在直线AC的上方，当S△PAC＝3时，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上的一点，tan∠ACM＝时，求点M的坐标．7．如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．（1）求二次函数和点的坐标；（2）根据图象，写出满足的的取值范围．8．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.9．如图，直线y=x+b和抛物线y=axx+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y=axx+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形ABCD的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得ΔPAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点.（1）求此抛物线的表达式；（2）连接，求面积的最大值及此时点的坐标.11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．12．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0），与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．14．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求此抛物线的函数解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知二次函数y=ax2－ax－4（a是常数，a>0），在y轴的负半轴上有一点C(0，－2)，过点C作x轴的平行线，交二次函数的图象于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=3，（1）求a的值；（2）当－1≤x≤m时，y的最大值与最小值的差为，求m的取值范围；16．如图，抛物线y＝ax2经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．17．如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长．18．如图，抛物线y=a(x+1)(x-2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C(0，2)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE．（1）求a的值和点A，B的坐标．（2）求△OBE的面积．19．如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，写出不等式的解集．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；（3）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

答案解析部分1．【答案】（1）解：把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3得：解得：抛物线的解析式为：设过A(1，0)，C(4，3)的直线为：解得：直线为：（2）解：如图，过作轴交于当，则解得：而设则所以当时，的面积最大，最大面积为：此时：所以：【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3求出a、b，据此可得抛物线的解析式；利用待定系数法可求出直线AC的解析式；

（2）过E作DE⊥x轴交AC于D，易得B（3，0），设E（x，x2-4x+3），则D（x，x-1），表示出DE，S△ACE，根据二次函数的性质可得△ACD面积的最大值以及对应的x的值，将x的值代入抛物线解析式中求出y，进而可得点E的坐标.2．【答案】（1）解：由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，将抛物线的解析式化成顶点式为，则顶点的坐标为；（2）不等式表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，结合点，由函数图象得：，即不等式的解集为．【解析】【分析】（1）先求出，再求出抛物线的解析式为，最后求顶点坐标即可；

（2）根据函数图象求解即可。3．【答案】（1）解：∵y＝ax2﹣4ax，∴抛物线的对称轴为：直线，令y=0，代入y＝ax2﹣4ax，可得：0＝ax2﹣4ax，解得：x1=0，x2=4，∴点A的坐标（4，0）；（2）解：∵点P（0，﹣6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C，点C关于y轴的对称点为D，∴PD=PC，∵BD=PD-PB，BC=PC+PB，BC＝2BD，∴PC+PB=2（PD-PB），即：PC+PB=2（PC-PB），∴3PB=PC，令y=-6，代入y＝ax2﹣4ax，∴-6＝ax2﹣4ax，即：ax2﹣4ax+6=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），∴x2=-3x1，x1+x2=，∴x1=-2，x2=6，∴x1∙x2=，解得：a=，∴y＝x2+2x，【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴直线公式可得对称轴，令y=0，可得x=0或4，据此可得点A的坐标；

（2）由题意可得PD=PC，则PC+PB=2(PC-PB)，推出3PB=PC，令y=-6，可得ax2-4ax+6=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），根据根与系数的关系可得x2=-3x1，x1+x2=4，据此可得x1、x2，然后根据x1∙x2=可得a的值，进而可得函数解析式.4．【答案】（1）解：，∴顶点D的坐标的坐标为（2）解：令，即，解得：，，∴点，∴，令，即，∴点，∴，∴．【解析】【分析】（1）将二次函数的一般式转为顶点式，再直接求出顶点坐标即可；

（2）先求出点A、B、C的坐标，再求出AB和OC的长，最后利用三角形的面积公式求出的面积即可。5．【答案】（1）解：，在抛物线上，则，解得，抛物线解析式为（2）解：当时，即，解得或，，，设直线解析式为，由题意可得，解得，直线解析式为，点是线段上的一个动点，可设，则，，当时，有最大值，最大值为2，此时，，即为的中点，综上所述，当运动到的中点时，，此时点坐标为.（3）解：存在，理由：，抛物线对称轴为直线，，，且，，点在轴上，可设，，，当时，则有点和点关于轴对称，此时点坐标为，；当时，则有，∴∴或此时点坐标为，或（4，0）；综上可知存在满足条件的点，其坐标为，；（4，0）；，；【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入可得b、c的值，进而可得抛物线的解析式；

（2）令抛物线解析式中的y=0，求出x，可得点A、B的坐标，求出直线BC的解析式，设E（m，m+2），则F（m，m2+m+2），表示出EF，根据二次函数的性质可得EF的最大值以及对应的m的值，进而得到点E的坐标，据此解答；

（3）由抛物线的解析式可得对称轴，进而得到点C、D的坐标，求出CD的值，设P（a，0），表示出PD，然后分PC=CD、PD=CD，求出a的值，进而可得点P的坐标.6．【答案】（1）解：令，则，∴C（0，），∵直线过C点，∴把点C（0，）代入，则，∴，∵直线与x轴交于点A，∴令，得，∴A（，），∴将点A（，）和B（，）代入y＝ax2＋bx﹣2，得a−b−2=016a−4b−2=0∴a=−1∴；（2）解：如图过过P点做PH⊥x轴交AC与点H，∴设点P的坐标为（，），点H的坐标为（，），∴PH＝＝∵△PAC的面积＝＝＝∴解得：，，∴P点的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，1）；（3）解：①当点M在直线AC上方时，如图，设直线CM交x轴于点F，过点F作FE⊥AC于点E，∵在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，∴由勾股定理可得AC＝2，∴在Rt△AOC中tan∠CAO＝，∵tan∠MCA＝，∴设：EF＝2x，则AE＝4x，CE＝5x，∴AC＝AE＋EC＝9x＝2，解得：x＝，∴在Rt△AEF中，有勾股定理可得，∴AF＝，则点F（，0），∴则直线CF（M）的表达式为：，∵直线CF与抛物线交于点M，∴＝，∴解得：，（舍去）∴M（，）；②当点M在直线AC下方时，如图延长FE到，使得EF＝，连接并延长交抛物线与点，∵FE⊥AC，∴△CEF≌，∴∠ECF＝∴tan，过点E作EN⊥y轴交y轴与点N，EG⊥x轴交x轴与点G，∵△AEG∽△ACO，∴，∴，∴EG＝，同理可得EN＝，∴E（，），∵E为的中点，∴，）∴直线C）的解析式为∵直线C与抛物线交于点，∴＝∴解得：，（舍去）∴M（，），综上所述M的坐标为（，）或（，）【解析】【分析】（1）由抛物线y＝ax2＋bx﹣2求出C（0，-2），将其代入中求出m=-2，即得，据此求出A（-4，0），将点A（，）和B（，）代入y＝ax2＋bx﹣2中求出a、b值即得结论；

（2）过点P作PH⊥x轴角AC于点H，设点P的坐标为（，），点H的坐标为（，），可得PH=，可得△PAC的面积＝＝＝，求出x值，即得点P坐标；

（3）分两种情况：①当点M在直线AC上方时，②当点M在直线AC下方时，据此分别解答即可.7．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，∴，∴，∴抛物线解析式为，∴点坐标，∵对称轴，、关于对称轴对称，∴点坐标，（2）解：由图象可知，满足的的取值范围为或．【解析】【分析】（1）将点A代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与C关于y轴对称求出点B的坐标；（2）根据图象交点坐标求解即可。8．【答案】（1）解：点为直线与轴的交点，，又点横坐标为2，代入可求得，，抛物线顶点在轴上，可设抛物线解析式为，把、两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为；（2）解：当抛物线平移后顶点坐标为时，其解析式为，即，联立，可得，消去整理可得，平移后的抛物线总有不动点，方程有实数根，△，即，解得，即当时，平移后的抛物线总有两个不动点.【解析】【分析】（1）易得A（-1，0）、B（2，3），根据抛物线的顶点在y轴上可设抛物线的解析式为y=ax2+c，将A、B代入求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；

（2）平移后的抛物线的解析式为y=x2-2mx+m2+2m，联立y=x，结合判别式≥0可得m的范围.9．【答案】（1）解：∵抛物线y=axx+2经过A（0，n），将代入，解得∴A（0，2），∵A（0，2）在直线y=x+b上，∴将代入，解得直线解析式为：∵B（m，4）在直线上，∴∴∴B（6，4）将点B（6，4）代入y=axx+2，即解得抛物线的解析式为（2）解：由抛物线的解析式为，令，即解得如图，过点B作于点E，则，四边形的面积S=S梯形（3）解：如图，分别过点A、B作，过点B作于点E，连接设，则，，，，，在和中，，，解得或或4或2【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入抛物线求出n的值，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标代入直线解析式求出直线的解析式即可；

（2）过点B作于点E，再利用割补法求解四边形的面积S=S梯形即可；

（3）分别过点A、B作，过点B作于点E，连接，设再利用勾股定理可得，再将数据代入计算即可。10．【答案】（1）解：在抛物线中，令，则，∴点C的坐标为（0，），∴OC=2，∵，∴，，∴点A为（，0），点B为（，0），则把点A、B代入解析式，得，解得：，∴；（2）解：设直线AC的解析式为，则把点A、C代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为；过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：设点P为（，），则点D为（，），∴，∵OA=4，∴，∴，∴当时，取最大值8；∴，∴点P的坐标为（，）.∵点P在第三象限的抛物线上，∴点P的坐标为（，）满足条件.【解析】【分析】（1）易得C（0，-2），则OC=2，根据OA=2OC=8OB可得OA、OB的值，进而得到点A、B的坐标，然后代入y=ax2+bx-2中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；

（2）求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，设P（x，x2+x-2），则D（x，x-2），表示出PD，结合三角形的面积公式可得S△APC，结合二次函数的性质可得面积的最大值以及对应的x的值，将x的值代入抛物线解析式中求出y，进而可得点P的坐标.11．【答案】（1）解：将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：16a−4b−4=04a+2b−4=0，解得：a=∴抛物线解析式为：（2）解：如图，过点M作MN⊥AC于点N，∵抛物线与y轴交于点B，当时，，∴，即OB=4，∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，∴，∴，，∴，∴，∴当时，S有最大值，最大值为，∴S关于m的函数关系式为，S的最大值为4．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；

（2）根据面积法得出S关于m的关系式，再利用根据面积法得出函数的性质得出最大值即可。12．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），设抛物线的解析式为y＝a（x−2）2＋9，∵抛物线经过点D（3，8），∴（3−2）2•a＋9＝8，解得a＝−1，∴抛物线的函数解析式为y＝−（x−2）2＋9；（2）解：令y＝−（x−2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A（-1，0），B（5，0），令x=0，则y=−（0−2）2＋9=5∴C（0，5）∴S△ABC===15；（3）解：存在，求解过程如下：∵二次函数y＝−（x−2）2＋9的对称轴为直线x＝2，∴A（−1，0），B（5，0），∵点D（3，8）关于对称轴x＝2对称的点的坐标为D'（1，8），由对称性得：DM＝D'M，则BM＋DM＝BM＋D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM＋DM最短，设直线BD'的函数解析式为y＝kx＋b，把（5，0），（1，8）代入y＝kx＋b，得：，解得，∴y＝−2x＋10，取x＝2，则−2×2＋10＝6，∴M（2，6）．【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a(x−2)2＋9，将D（3，8）代入求出a的值，进而可得抛物线的解析式；

（2）令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，可得点C的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算；

（3）易得A（−1，0），B（5，0），D'（1，8），由对称性得DM＝D'M，则BM＋DM＝BM＋D'M，故当点B，D'，M在一条直线上时，BM＋DM最短，利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，令x=2，求出y的值，进而可得点M的坐标.13．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），∴C（﹣1，0）；（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，∴P的坐标为（1，2）；（3）解：∵抛物线有一点D（x．y），∴D（x，﹣x2+2x+3），过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，∴E（x，﹣x+3），∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，∴S△ABD＝S△ABC＝3，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3，解得：x1＝1，x2＝2，∴D（1，4）或（2，3）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线为y＝﹣x2+2x+3，再计算求解即可；

（2）先求出直线AB的解析式为y＝﹣x+3，再计算求解即可；

（3）先求出S△ABD＝S△ABC＝3，再求出x1＝1，x2＝2，最后求点的坐标即可。14．【答案】（1）解：直线y=-x+3经过B，C两点，∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，∴B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)．又：抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得0=−9+36+c，解得b=2，c=3，∴该抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）解：当y=0时，0=-x2+2x+3，∴x1=-1，x2=3，∴A点坐标为(-1，0)．∵B点坐标为(3，0)，∴AB=4．∴C点坐标为(0，3)，∴S△CAB=×AB×OC=6．设P点坐标为(m，n)，∵S△PAB=2S△CAB，则×4×|n|=2×6，∴|n|=6，即n=6或-6，当n=6时，6=-x2+2x+3，此时方程无解，∴此时P点不存在，当x=-6时，-6=-x2+2x+3，解得：x1=+1，x2=-+1，∴此时P点坐标为(+1，-6)，(-+1，-6)，综上所述，存在这样的P点，且坐标为(+1，-6)，(-+1，-6)．【解析】【分析】(1)先求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

(2)先求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求出△ABC的面积，设P点坐标为(m，n)，根据S△PAB=2S△CAB列出关于n的绝对值方程求解，然后把n的可能值分别代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程求解，即可求出P点坐标.15．【答案】（1）解：根据题意，得对称轴为直线，∵AB=3，∴易得AC=1，BC=2．∵C(0，－2)，∴B(2，－2)．把(2，－2)代入y=ax2－ax－4，得－2=22a－2a－4，解得a=1．（2）解：由（1），得，∴顶点坐标为(，)，∴当时，y的最小值为．当x=－1时，y=－2，∵，∴当－1≤x≤m时，y的最大值为－2，∴【解析】【分析】（1）利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性结合已知可求出点C，B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式，可求出a的值.

（2）先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用二次函数的性质可得到y的最小值；将x=-1代入函数解析式可求出y的值；当－1≤x≤m时，y的最大值为－2，由此可求出m的取值范围.16．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2），∴2=a，∴a，∴抛物线的函数关系表达式为y；（2）解：①当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，0，解得：，∴点C的坐标为（3，0）．设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线AC的解析式为y，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），∵点F（p，p）在直线y上，∴p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）．②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）分类讨论，结合函数图象计算求解即可。17．【答案】（1）解：将代入得：，解得：，则抛物线的表达式为：，将点A的