工程塑性理论主应力法

8.4主应力法

主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法，在工程上得到了广泛的应用。该方法是以均匀变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程，将米塞斯屈服准则的二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题，从而获得工程上所需要的解。主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体几何尺寸、摩擦系数等工艺参数对变形力、变形功的影响；可确定可能的最大变形量、最小可轧厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。但是，由于上述基本假设的限制，采用主应力法无法分析变形体内的应力分布。

主应力法又称切块法、初等解析法、力平衡法等。

8.4.1主应力法的基本原理

（1）将问题简化成平面问题或轴对称问题，假设变形是均匀的。在平面应变条件下，变形前的平截面在变形后仍为平截面，且与原截面平行；在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原圆柱面同轴。对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规律，将其划分成若干部分，对每一部分分别按平面问题或轴对称问题进行处理，最后“拼合”在一起，即可得到整个问题的解。（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面在内，因此，通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将剖切面上的正应力假设为均匀分布的主应力，因此，正应力的分布只随单一坐标变化，由此将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程。（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中所采用的屈服准则为:

◆对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦模型和常摩擦力模型式等。

8.4.2长矩形板镦粗问题p假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl（1）切切取单元元体（2）列列出单元元体的静静力平衡衡方程沿沿x方方向列出出单元体体的静力力平衡方方程，即即（3）代代入摩擦擦条件假假设接接触表面面上的摩摩擦切应应力服从从库仑摩摩擦定律律，即（4）引引用屈服服准则工工程上上习惯将将工具作作用在变变形体上上的单位位压力p取为正值值。沿y方向列列平衡方方程：pldx+σyldx=0p=-σσy根据应力力应变顺顺序对应应规律εεx>εy，所以，，σx>σy，因此，，屈服准准则式变变为如下下形式，，即将上式微微分，可可得dσx=-dp，（5）积积分并并确定积积分常数数根据据应应力力边边界界条条件件定定积积分分常常数数。。当当x=b/2时，，σσx=0，，由由屈屈服服准准则则式式可可知知：：（6））求求变变形形力力P变变形形力力可可由由下下式式求求出出，，即即（7））求求平平均均压压力力（8））变变形形功功W设矩矩形形板板变变形形前前的的高高度度为为h0、变变形形后后的的高高度度为为h1，在在变变形形的的某某一一瞬瞬时时，，矩矩形形板板高高度度为为h，在在变变形形力力P作用用下下，，高高度度发发生生变变化化dh，则则变变形形功功为为根据据体体积积不不变变条条件件，，可可得得b=V/lh，可可得得长长矩矩形形板板镦镦粗粗问问题题p假设设矩矩形形板板长长度度l远大大于于高高度度h和宽宽度度b，，则则可可近近似似地地认认为为矩矩形形板板沿沿长长度度方方向向的的变变形形为为零零，，由由此此可可将将长长矩矩形形板板镦镦粗粗视视为为平平面面应应变变问问题题。。pl（1））切切取取单单元元体体（2））列列出出单单元元体体的的静静力力平平衡衡方方程程沿沿x方方向向列列出出单单元元体体的的静静力力平平衡衡方方程程，，即即（3））代代入入摩摩擦擦条条件件假假设设接接触触表表面面上上的的摩摩擦擦切切应应力力服服从从库库仑仑摩摩擦擦定定律律，，即即（4））引引用用屈屈服服准准则则工工程程上上习习惯惯将将工工具具作作用用在在变变形形体体上上的的单单位位压压力力p取为为正正值值。。沿沿y方方向向列列平平衡衡方方程程：：pldx+σσyldx=0p=-σσy根据据应应力力应应变变顺顺序序对对应应规规律律εεx>εεy，所所以以，，σσx>σσy，因因此此，，屈屈服服准准则则式式变变为为如如下下形形式式，，即即将上上式式微微分分，，可可得得dσσx=-dp，（5））积积分分并并确确定定积积分分常常数数根据据应应力力边边界界条条件件定定积积分分常常数数。。当当x=b/2时，σx=0，由屈服服准则式可知知：（6）求变形力力P

变形力力可由下式求求出，即（7）求平均均压力长长矩形板镦镦粗问题pq假设矩形板长长度l远大于高度h和宽度b，则则可近似地认认为矩形板沿沿长度方向的的变形为零，，由此可将长长矩形板镦粗粗视为平面应应变问题。pl（1）切取单单元体（2）列出单单元体的静力力平衡方程沿沿x方向列列出单元体的的静力平衡方方程，即（3）代入摩摩擦条件假假设接触表面面上的摩擦切切应力服从库库仑摩擦定律律，即（4）引用屈屈服准则工工程上习惯将将工具作用在在变形体上的的单位压力p取为正值。沿沿y方向列平平衡方程：pldx+σσyldx=0p=-σσy根据应力应变变顺序对应规规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服服准则式变为为如下形式，，即将上式微分，，可得dσx=-dp，（5）积分分并确定积分分常数根据应力边界界条件定积分分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则则式可知：长长矩形板镦镦粗问题pq圆圆柱体镦粗粗问题在均匀变形假假设条件下，，圆柱体在压压缩过程中，，不会出现鼓鼓形，因此，，圆柱体镦粗粗属于轴对称称问题，宜采采用圆柱坐标标（r,θ,z）。设h为圆柱体的高高度R为半径

σr为径向正应力力

σθ为子午面上的的正应力ττf为接触表面上上的摩擦切应应力。沿径向列出单单元体的静力力平衡方程，，即rdr假设接触表面面上的摩擦切切应力服从库库仑摩擦定律律，即根据应力应变变顺序对应规规律εr>εz，所以，σr>σz，因此，屈服服准则式变为为如下形式，，即沿y方向列平平衡方程：p2πrdr+σz2πrdr=0p=-σz应力边界条件件为，当r=R时，σr=0，

由屈屈服准则式可可知:变形力为:平均压力为:拉拉拔

8.4.4.1平面应变拉拉拔（1）拉拔应应力沿坐标方向列列出单元体的的静力平衡方方程，即假设接触表面面上的摩擦切切应力服从库库仑摩擦定律律，即由图中几何关关系可得为了确定pn与σx之间的关系，，首先需要找找pn与σh之间的关系，，为此沿h坐标轴方向列列出静力平衡衡方程，即对于大多数拉拉拔过程，模模具的半锥角角α是比较小小的，并且润润滑条件也较较好，因此，，摩擦系数μμ很小，上式式中的μtanα远小于于1，可略去去。则有根据应力应变变顺序对应规规律可知，εx>εh，则σx>σh，可得应力边界条件件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，，可得积分常常数，即模具上的压力力分布，即当h=h1时，σx=σx1，σx1称为拉拔应力力，即拉拔时的变形形量通常用面面缩率r来表表示，在平面面应变条件下下，面缩率r可用下式来来表示，即（2）拉拔时时一道次的最最大面缩率拉拔应力随道道次面缩率的的增加而增大大，当拉拔应应力达到拉拔拔模出口端外外部产品的屈屈服应力，也也就是材料的的瞬时屈服应应力时，拉拔拔产品将产生生塑性变形，，其应力和应应变状态与单单向拉伸实验验完全相同，，此时拉拔过过程无法稳定定进行。因此此，拉拔时一一道次最大面面缩率的计算算依据是拉拔拔应力等于拉拉拔模出口端端外部材料的的瞬时屈服应应力。在无摩擦条件件下，最大面面缩率为在无摩擦条件件下，当后张张力σx0=0时，，最最大大面面缩缩率率rmax为轴轴对对称称拉拉拔拔（1））拉拉拔拔应应力力沿沿z坐坐标标方方向向列列出出单单元元体体的的静静力力平平衡衡方方程程，，即即由图图中中的的几几何何关关系系可可得得沿r坐坐标标轴轴方方向向列列出出静静力力平平衡衡方方程程，，即即同平平面面应应变变拉拉拔拔的的情情况况一一样样，，对对于于大大多多数数拉拉拔拔过过程程，，模模具具的的半半锥锥角角是是比比较较小小的的，，并并且且润润滑滑条条件件也也较较好好，，因因此此，，摩摩擦擦系系数数μμ很很小小，，上上式式中中的的μμtanαα远远小小于于1，，可可略略去去，，则则有有与圆圆柱柱体体镦镦粗粗问问题题相相同同，，对对于于实实心心材材轴轴对对称称拉拉拔拔问问题题：：根据据应应力力应应变变顺顺序序对对应应规规律律可可知知，，εz>εr，则则σz>σr，可可得得应力力边边界界条条件件为为：：当当D=D0时，，σz=σσz0，代代入入上上式式，，可可得得积积分分常常数数，，即即当D=D1时，，σz=σσz1，σz1称为为拉拉拔拔应应力力，，即即模具具上上的的压压力力分分布布：：拉拔拔时时的的变变形形量量通通常常用用面面缩缩率率r表表示示，，在在轴轴对对称称条条件件下下，，面面缩缩率率r用用下下式式来来表表示示，，即即（2））拉拉拔拔时时一一道道次次的的最最大大面面缩缩率率轧轧制制轧制制是是金金属属塑塑性性加加工工领领域域中中应应用用最最广广泛泛、、最最重重要要的的加加工工方方式式，，轧轧制制压压力力是是轧轧钢钢工工艺艺和和设设备备设设计计的的基基本本参参数数之之一一。。目目前前对对于于板板带带轧轧制制时时的的轧轧制制压压力力计计算算大大多多是是在在平平面面应应变变条条件件下下进进行行的的。。事事实实上上，，对对于于板板带带轧轧制制，，由由于于板板材材宽宽而而薄薄，，忽忽略略宽宽展展，，将将轧轧制制过过程程假假设设为为平平面面应应变变问问题题是是比比较较准准确确的的。。以以平平板板间间均均匀匀镦镦粗粗代代替替轧轧制制过过程程将板板带带轧轧制制过过程程视视为为轧轧件件在在具具有有良良好好润润滑滑的的两两平平行行平平板板间间的的均均匀匀镦镦粗粗，，可可以以得得到到求求解解轧轧制制力力的的最最简简单单公公式式。。忽忽略略宽宽展展，，将将轧轧制制过过程程视视为为平平面面应应变变问问题题，，在在宽宽度度方方向向上上取取一一个个单单位位，，设设接接触触弧弧长长的的水水平平投投影影为为l，轧件的平均均屈服应力为为2k，则单位宽度度上的轧制力力为式中：R—轧辊半径；；Δh=h0-h—轧件的压下下量。在板带轧制时时，压下量Δh远小于轧辊半半径R，因此此，可以忽略略Δh的平方项，即即式中没有考虑虑摩擦的影响响，由此式可可给出轧制力力的下限。根根据一些典型型轧制过程的的研究结果，，奥洛万认为为，摩擦对轧轧制力的影响响大约为20%，因此，，可将修正为为显然上式并不不是计算轧制制力的严密公公式，但是，，该式简单，，便于记忆，，当需要快速速确定一个近近似的轧制力力时，采用上上式是非常方方便的。8.4.5.2卡尔曼方方程卡尔曼方程是是求解轧制压压力的基本微微分方程式。。假设

（a）轧件的宽宽度方向尺寸寸远大于厚度度及变形区长长度，因此，，宽展可忽略略不计，将轧轧制过程视为为为平面应变变问题。（b）轧件的的变形是均匀匀的，变形前前的垂直横断断面，在变形形后仍保持为为平面。（（c）在垂直直横断面上没没有切应力作作用，水平正正应力沿轧件件高度方向均均匀分布。采用主应力法法求解板带轧轧制压力时，，所切取单元元体的受力情情况与平面应应变拉拔时基基本相同，但但是，轧制时时的材料流动动规律与平面面应变拉拔的的情况不同。。在轧制过程中中，靠近变形形区的出口端端，轧件的流流动速度大于于轧辊的线速速度，而在靠靠近变形区的的入口端，轧轧件的流动速速度小于轧辊辊的线速度，，在均匀变形形假设条件下下，变形区内内一定存在着着轧件的流动动速度等于轧轧辊线速度的的平面，称为为中性面。由由中性面至出出口端，称为为前滑区，中中性面至入口口端，称为后后滑区。中性面与接触触弧的交点，，称为中性点点。中性点两两侧的摩擦力力方向是相反反的，并且均均指向中性点点。中性点所所对应的圆周周角γ，称为为中性角。整整个接触弧所所对应的圆周周角α，称为为咬入角。由于轧制时金金属流动规律律的特殊性，，建立轧制过过程平衡方程程，需要在中中性面两侧的的前滑区和后后滑区分别切切取单元体。。在直角坐标标系下，横坐坐标用x表示，纵坐标标用h表示。。设轧件变形形前的高度为为h0、变形后的高高度为h1，pn为轧辊作用在在单元体上的的径向应力，，取单位宽度度的单元体，，可以得到如如下平衡方程程，即式中K通常取取入口端与出出口端轧件屈屈服应力的平平均值，并设设其为常数，，即由于K为常数数，因此，式式(8-51)变为如下下形式，即从式(8-52)中可以以看出，为了了求解卡尔曼曼方程，还需需给定摩擦条条件τf及θ角，τf、θ不同，所得到到的结果也不不同。在轧制制过程中，轧轧辊通常是要要产生弹性变变形的，轧辊辊与轧件的接接触弧并非总总是呈圆弧形形，因此，在在轧制理论中中，为了简化化计算，常常常采用直线或或某些特殊的的曲线来代替替实际的接触触弧曲线。常常用的接触弧弧曲线方程入入表8-1所所示。9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。14:38:4214:38:4214:381/6/20232:38:42PM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2314:38:4214:38Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。14:38:4214:38:4214:38Friday,January6,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2314:38:4214:38:42January6,202314、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。06一一月月20232:38:43下下午午14:38:431月月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月232:38下下午1月-2314:38January6,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/614:38:4314:38:4306January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。2:38:43下午午2:38下午午14:38:431月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。14:38:4314:38:4314:381/6/20232:38:43PM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月月-2314:38:4314:38Jan-2306-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。14:38:4314:38:4314:38Friday,January6,202313、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。1月-231月-2314:38:4314:38:43January6,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。06一月月20232:38:43下下午14:38:431月-2315、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。一月232:38下下午1月-2314:38January6,202