2022年高考冲刺数学（理）试题（北京卷）

2013年高考数学（理）试题（北京卷）本试卷共150分，考试时长120分钟。第一部分（选择题共40分）一、选择题。本大题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}【答案】：B【知识点】：集合的含义与运算【解析】：集合B含有整数-1，0，故2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】：D【知识点】：复数的运算和简单几何意义【解析】：（2-i）2=3-4i,其在复平面内对应的点（3，-4）位于第四象限。3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【知识点】：三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断【解析】：由可得，此为曲线坐标原点的充要条件，故是曲线过坐标原点的充分而不必要条件。4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为B.C.D.【答案】：C【知识点】：程序框图【解析】：逐次运算的结果是此时终止程序，输出S的值为。5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于y轴对称，则f(x)=A.B.C.D.【答案】：D【知识点】：函数的平移及对称性【解析】：与曲线关于y轴对称的曲线，函数的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=±2xB.C.D.【答案】：B【知识点】：双曲线的方程和简单几何性质【解析】：在双曲线中离心率，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是。7.直线过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.B.2C.D.【答案】：C【知识点】：抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理【解析】：由题意知抛物线的焦点坐标为（0，1），故直线L的方程为y=1,该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为（2，1），根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是。8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.B.C.D.【答案】：C【知识点】：二元一次不等式组所表示的平面区域【解析】：问题等价直线x-2y=2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点（-m,m）不可能在第一和第三象限，而直线x-2y=2经过第一、三、四象限，则点（-m,m）只能在第四象限，可得m<0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x-2y=2与阴影部分有公共点，则点（-m,m）在直线x-2y-2=0的下方，由于坐标原点使得x-2y-2<0,故，即。第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在极坐标系中，点(2，)到直线的距离等于【答案】：1【知识点】：极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】：由题意知，点(2，)的直角坐标是，直线的直角坐标方程是y=2，所以所求的点到直线的距离为1.10.若等比数列{an}满足，则公比q=；前n项和Sn=.【答案】：2【知识点】：等比数列的通项公式和求和公式【解析】：由题意知，又，故，解得a1=2,所以。11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，，则PD=，AB=.【答案】：【知识点】：圆的切割线定理【解析】：设PD=9t，DB＝16t,则PB=25t，根据切割线定理得32=9t×25t,解得t=,所以PD=，PB＝５.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB=4.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.【答案】：96【知识点】：排列组合中的分组安排问题【解析】：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是。13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=____________.【答案】：4【知识点】：平面向是的线性运算、平面向量基本定理，基础知识【解析】：设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则所以，根据平面向量基本定理得所以。14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.【答案】：【知识点】：空间几何体、点到直线的距离【解析】：点P到直线CC1的距离等于点P到平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P到平面ABCD上的射影为P’,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P’C的长度最小，此时。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.（1）求cosA的值；（2）求c的值。【答案】：见下【知识点】：正弦定理、二倍角公式、三角恒等变换公式等基础知识【解析】：（1）（2）16.（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。（I）求此人到达当日空气重度污染的概率；（II）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】：见下【知识点】：统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识17.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.【答案】：【知识点】：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直性质定理、勾股定理、二面角的求解知识和空间向量在立体几何中的应用18.（本小题共13分）设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.（1）求l的方程；（2）证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方。【答案】：见下【知识点】：导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法【解析】：19.（本小题共14分）已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.【答案】：见下【知识点】：椭圆方程、直线与椭圆的位置关系20.（本小题共13分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数