2022年高考冲刺数学（理）试题（福建卷）2

2015年高考数学（理）试题（福建卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、若集合（是虚数单位），，则等于()A．B．C．D．答案：C解析：由已知得，故，故选C知识点：复数的概念、集合的运算．2．下列函数为奇函数的是()A．B．C．D．答案：D解析：函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．知识点：函数的奇偶性．3．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11B．9C．5D．3答案：B解析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．知识点：双曲线的标准方程和定义．4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）支出y（万元）根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为()A．万元B．万元C．万元D．万元答案：B解析：由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当社区一户收入为15万元家庭年支出为（万元），故选B知识点：线性回归方程．5．若变量x,y满足约束条件,则z=2x-y的最小值等于()A．B．-2C．D．2答案：A解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当z最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，z取到最小值，最小值为，故选A．知识点：线性规划．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2B．1C．0D．-1答案：C解析：程序在执行过程中S，i的值依次为：；；；；；，程序结束，输出S=0，故选C．知识点：程序框图．7．若l、m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B．知识点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8．若a、b是函数的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9答案：D解析：由韦达定理得a+b=p，a·b=q，，则a>0，b>0，当a,b,-2适当排序后成等比数列时，-2必为等比中项，故a·b=q=4，．当适当排序后成等差数列时，-2必不是等差中项，当a是等差中项时，，解得a=1,a=4；当是等差中项时，，解得a=4,b=1，综上所述，a+b=p=5，所以p+q=9，选D．知识点：等差中项和等比中项．9．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21答案：A解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于13，当，即时取等号．知识点：平面向量数量积、基本不等式．10．若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．答案：C解析：由已知条件，构造函数，则，故函数在R上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在R上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．知识点：函数与导数．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）答案：80解析：的展开式中x2项为，所以x2的系数等于80．知识点：二项式定理．12．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于________．答案：7解析：由已知得△ABC的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，.知识点：三角形面积公式、余弦定理．13．如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．答案：解析：由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．考点：几何概型．．14．若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围是．答案：解析：当，故，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围是．知识点：分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．答案：5解析：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，

①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；

②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；

③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；

④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；

⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；

⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；

⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；

综上，k等于5．

故答案为：5．知识点：推理证明和新定义．三、解答题16．（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为．解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又X123P所以X的分布列为所以．知识点：古典概型、离散型随机变量的分布列和期望．17．（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(Ⅰ)求证：GF∥平面ADE；(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．解析：解法一：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HD，HD，又G是BE的中点，，又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH，又，所以．(Ⅱ)如图，在平面BEC内，过点B作,因为．又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB⊥平面BEC，所以为平面BEC的法向量，设为平面AEF的法向量.又由取z=2得.从而所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：(Ⅰ)如图，取AB中点M，连接MG、MF，又G是BE的中点，可知，又，所以；在矩形ABCD中，由M、F分别是AB、CD的中点得MF∥AD．又，所以．又因为，所以面GMF∥平面ADE，因为，所以GF∥平面ADE（Ⅱ）同解法一．知识点：直线和平面平行的判断、面面平行的判断和性质、二面角．18．（本小题满分13分）已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线x=my-1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)G在以AB为直径的圆外．解析：解法一：(Ⅰ)由已知得，解得，所以椭圆E的方程为．(Ⅱ)设点AB中点为．由得：所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点，则由所以从而所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．知识点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、点和圆的位置关系．19．（本小题满分13分）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x的方程在内有两个不同的解α，β．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．解析：解法一：(Ⅰ)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为(Ⅱ)(1)（其中）；依题意，在区间内有两个不同的解α，β当且仅当，故m的取值范围是.(2)因为α，β是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时,所以解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)(1)同解法一.(2)因为α，β是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时,所以；于是知识点：三角函数图像变换和性质、辅助角公式和诱导公式．20、（本小题满分14分）已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)k=1．解析：(Ⅰ)令则有；当,所以在上单调递减；故当时，即当时，．(Ⅱ)令则有；当,所以在上单调递增,，故对任意正实数x0均满足题意；当0<k<1时，令，得，取,对任意x∈(0，x0)，恒有，所以在[0，x0)上单调递增，即；综上，当k<1时，总存在x0>0，使得对任意的x∈(0，x0)，恒有.(Ⅲ)当k>1时，由（Ⅰ）知，对于故，，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当k<1时，由（Ⅱ）知存在,使得对任意的任意的恒有．此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当k=1，由（Ⅰ）知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，k=1.知识点：导数的综合应用．21．（本小题满分7分）本小题（1）（2）（3）三个选做题，选做其中两个题.（1）（本小题满分7分）已知矩阵(Ⅰ)求A的逆矩阵；(Ⅱ)求矩阵C，使得AC=B.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)因为所以(Ⅱ)由AC=B得,故考点：矩阵和逆矩阵．（2）（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为,由，