2011年湖北省高考数学理科试卷

2011年湖北省高考数学理科试卷试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类解析）本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.

20111.i为虚数单位，则旨A.i B.i C.iD.i【答案】A解析：因为,1i1i21i22011i,所以H解析：因为,1i1i21i22011i,所以H22011 44502i i故选A.2.已知uyylog2x,x1)PyLx2则CuPXA.2,B.1。，一2C.0,D.,0【答案】A解析：由已知D.,0【答案】A解析：由已知UQ.P0,15所以CuP3.已知函数fx V3sinxcosx)xR)若fx范围为g，，故选A.1,则x的取值xk—xk,kZ3C.xkxk—xk,kZ3C.xk-xk-,kZ6 6【答案】Bx2k—x2k,kZ

3D.x2k-x2k—,kZ6 6解析：由条件J35nxe0sxi得sinx-1,则6 2X的个数记为n,n2,所以选C.X的个数记为n,n2,所以选C.5.已知随机变量则P0 2服从正态分布N2,2）且P40.82k-x-2k 5r）解得2kax2k）kZ）所以选6 6 6 3B.4.将两个顶点在抛物线y22pxp0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则A.n0B.n1C.n2D.n3【答案】C解析：根据抛物线的对称性，顶点一定关于X轴对称，且过焦点倾斜角分别为300和150。，这时过与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三0.4C.0.3D.0.4C.0.3D.0.2【答案】C解析： y：如图，正态分布的密度函数示意里”在久孜关于直线X2对称，所以P20.5,于：“一

则P00.80.50.3所以选C.6.i已知定义在6.i已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gX满足x_xcfxgxaa2a0,且a1）若g2a）贝I]f2A.2A.2B." C." D.4 4【答案】B解析：由条件f2g2a2a22)f2f2g2a2a22）由此解得g22）f2a2a25所以a2,f22222b所以选B.7.如图，用K、Ai、A2三类不同的元件连接成一个系统,7.K正常工作且A、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A、A2正常工作的评建|A归g 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概盘_ UAA.0.960B.A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】B选选B.8.已知向量解析：Ai、A2至少有一个正常工作的概率为1P^P及1 10.8 10.8 10.040.94,系统正常工作概率为PK1PA；PA2 0.90.960.864,所以等式|xyA.【答案】2,2的取值范围为B.2,3C.3,2D.3,3解析：因为则z2x3y）aXb52xz3yx,y满足不等式iil2z 0》、则点x,y的可行域如图所示,y|1D(-1C(0B(1xz2xz2x3y经过点等式|xyA.【答案】2,2的取值范围为B.2,3C.3,2D.3,3解析：因为则z2x3y）aXb52xz3yx,y满足不等式iil2z 0》、则点x,y的可行域如图所示,y|1D(-1C(0B(1xz2xz2x3y经过点3y经过点A0,1C0,1时,z2x3y取得最大值3I时）z2x3y取得最小值-3所以选D.9.若实数a,b满足a,bVa2b2ab)a0,b0那么，且ab0,则称a与b互补，记a,bA必要而不充分条件C.充要条件要的条件【答案】C解析：若实数a,b满足a一个为0,不妨设b。,D.0,b则。是2与b互补B.充分而不必要条件既不充分也不必0）且ab0）则a与b至少有

a,b va2aaa0•反之）a,bVa2b2ab0‘ 4a""b2ab0两边平方得a2b2a2b22abab0,则a与b互补)故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素钠137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关t30系：MtM02咒其中M0为t0时锁137的含量，已知t30（太贝克/年）时，锁137的含量的变化率是101n2（太贝克/年）•••则M60A.5则M60A.5太贝克克D.【答案】150DB.751n2太贝克太贝克C.1501n2—1n230M/30—1n23030230 101n2M/30—1n23030230 101n2解得M600〉所以Mt6002t30那么M60 600601230 600—4150（太贝克））所以选D.1、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分18为 -【答案】17【解析】18为 -【答案】17【解析】（结果用数值表示）:项式展开式的通1项公式为11.在x去展开式中含x15的项的系数3.x2r15r2,含x152r15r2,含x15的丁 7 18 r1 c「 18 r2r1 人Tr1 C18x—尸 C18x - ,口183.x 3 ,2项的系数为C281 17,故填17.312.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期（结果用最简分数表饮料的概率为（结果用最简分数表示）【答案】患解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B,则A与B是对立事件，因为25PB写丝3所以pa1pb1S且所以填更.C20 1529, 1529 145） /14512.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节升.【答案】6766解析：设该数列an的首项为ai,公差为a1 a2a3 a4a7 a8a9 43,升.【答案】6766解析：设该数列an的首项为ai,公差为a1 a2a3 a4a7 a8a9 43,即4ai6d33ai21d4a17d,解得7d—66d,依题意43则a5ai4dai7d3d3案66,所以应该填14.如图，直角坐标系xoy所在的平面为67.66,直角坐标系x/Oy/?（其中y/轴与y轴重合）所在的平面共xOx/ 450（I）已知平面内有一点P/2/,2则点P/在平面内的射影P的坐标为0\（n）已知平面内的曲线C/的方程是x,收22y，220,则曲线C/在平面内的射影C的方程是【答案】2.2,x12y21解析：（I）设点P,在平面内的射影P任则点P的纵坐标和P/所以

连结y2,过点P/作2线2纵坐标相同工&P/HOy）垂足为HPH,则P/HP45。,P横坐标Xx,y)xPHP/Hcos450x/cos45°272—2)的容积为所以点P/在平面内的射影P的坐标为2,2；(n)由(I)得xx/cos450x/Y)y/y,所以；""2 yy代入曲线c/的方程xi2y2i,所以x/2222y/220）得22x72xi2y2i,所以射影C射影C的方程填x12y2115.给n个则上而下相连的正方形着黑色或白色 .当4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻着色方案由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻着色方案••案共有种.（结果用数值表示）【答案】21,43解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方••••案数为an,由图可知，al2）a2 3〉a3 523aia2）a4 835a2a3,由此推断a5a3a45613,a6a4a581321,故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方••••形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有2222222664种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色••••正方形相邻着色方案共有642143种着色方案，故分••别填21,43.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a1,1b2cosC一） 4.(I)求(I)求(n)求ABC的周长;

cosAC的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析:(I)2 2 2 _ . 1 .解析:(I)cab2abcosC144 44ABC的周长为abc1225.(n)cosC-4(n)cosC-4.・sinC.1cos2C ..1158--cosA.1sin2A.1J5158--cosA.1sin2A.1J52 78 8・・cosACcosAcosCsinAsinCZ」坐小U84 8 4 16.17.（本小题满分12分),15・・sinAasinC 4・・sinAc 2JAC,故A为锐角,提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位:千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.（I）当（I）当0x200时）求函数vx的表达式;（n）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（I）由题意：当0x20时）vx60；当20x200时,设Vxaxb）显然xaxb在20,200是减函数）由已知得200abb60，解得-32003故函数vx的表达式为60,-200x,30x20,20x200.（n）依题意并由（I）可得0x20时）fx为增函数，故当60x,-x200320时,x,2020,x200.其最大值为22x100003 〉60201200；当20x200时）1 1x200x200x3 3 2当且仅当x200所以）当x100X）时,即x100时）等号成立.fx在区间20,200上取得最大值喈03综上）当x100时fX在区间0,200上取得最大值1000033333)即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.18.（本小题满分12分）BC如图）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4）E是BC的中点，动点F在侧棱CCi上,(I)当CF1时)求证(I)当CF1时)求证EFAiC;（n）设二面角CAFE的大小为）tan、B吩最小值.本题主要考查空间直线与平面的位置关系前二面确等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力用运等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力用运算求解能力.解析:IS.本小n主要考■空间■0与平面的位■关系和二面角等婆毡知识・同酎寿餐空间始年髭力.指理论证能力和运埠求解修力.（满分12分）解法h过£作砌工/。于N,逐站中.（I）切围1,连结N尸.4CP由直快柱的性质如，底而0C，费面4C・乂底面/Kfl儡面4c・/C,且£Nu底面所以mJ»创面遇右，w尸为44在便面4c内的射影，在RlACWE中.CJV=CEco«60nl.,黑NFBAC"又4G，4c.WlNFJl/C.由三瓶线定理加炉，4c.（11>如图3连结/F.过N作NMLAF于M.逢靖从相由CI）知£¥，儡由4C,根据三景核定理烟4r.所以上£MV是一面ZfiC-”-£的平面仙,叩NEMV♦圾»Z£4C-a.WJ0<tfS45\败挈（理工类）肉S参考答窠第2页（共6页）在RtACNE中.NE・£C，dn&r,Ji,在RiW中.MN=/N・$ina=3dna,.X,0"<a545. 0<sina£f.MN3sina 2故当:sina=—.却当a=4S时.tan。故当:sina3i9="kJ5u半.itMf与c.jt合.解法力(I)建立如国3所示的空间JI的坐标系，则的已如可得A(0.0M3(2^2.0).C(0.4M^(0,0.4),f(J5.X0),F(0,4,l).于跄04-(0.-4.4).^•(-JS.i.i).则可乔・©<4)(』11/>・0-4+4・0.故EC4c.(II)设CF・Jl,C0<AS4).平面W的一个法向■力则由(I)桃川他45AE=(JI,3.0).AF=AE=(JI,3.0).AF=(0.4,4)•于她由e1X£,中工行可利又由直三粳柱的性质可取例前XC.的一个法向■为病•0.0.0h_于是由日为锐阳可得850■扁由♦虚q.于”卷詈Hl'l.6“'+16[i_lT所以由八不-=卜于・由0v久《4・叫叶图诩”居邛，故当a=4,尊点斤。点G重合时，3n。双尚最小他半.数学（理」淡）试基参考答案第3页（共6页）.(本小题满分13分)1).已知数列an的刖n项和为Sn,且酒足：a1a(a0),an1rSn1).(I)求数列an的通项公式；(n)若存在kN,使得Ski,Sk,Sk2成等差数列，试判断：对于任意的m且m2,am-am,am2是否成等差数列，并证明你的结论L九本小•主要考查等差必科.等比如列49第础抑识,同时辱充报理论证能力*献显得琳与一般的思那f清公口背;-I：由已知出1・，必・可羯%j!“*西式精城到寓%L*i・4丛・1•$)*%♦一阳/jT”反虫卫％・皿0E,所即当,工口时，般列为『口.(>•・，・・0”当r・0・r・-l晡,由已知。/Q,所以《黄。yN"于是由％；・0十1应„1T可博必口”1伽靖NX，%.%・皿.口*r—成等比数列d二当J1ZM时.与=«，<4广”.修上.依列也J的通填公武我、=]： .”::，(尸41)ar.JriXtui而于任意的eeN・K«s2.。■…4，心.T成弊及依列.证明如Fi当,，0时,曲《】》知，/=Hn=L回jt«2.工时于衽意的中且m*2.oI.口%才成等差数刑】当r=。，r*-|ifd丫品“=&+叼a+附心,541=以#为“*若存在上希甘・帙带S*.・条.52成等升数列।胸曷.1千品.工■弱.二%+%*「/”=咯・即*=-%..*由I[1知・吗. 于是对于任意B1内・M・旦时22। --2a^r从而口..*■4,t，*・4,»%,即4,,•Q，〃1成等茶城列，号上,对于任意的etN\且e221j4，4H或等冷数列..(本小题满分14分)平面内与两定点Ai(a,0),A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上Ai、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(I)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；(H)当m1时，对应的曲线为Ci；对给定的m(1,0)U(0,),对应的曲线为C2,设Fi、F2是C2的两个焦点。试问：在Ci上，是否存在点N,使得△FiNF2的面积S|m|a2。若存在，求tanFiNF2的值；若不存在，请说明理由。20.本小聂主要才查曲骏与方程.圆锋曲段等，砒如织,同时考查推理运苒的雄力，以及分类与整合和敷形结合的图想(漕分14分)解।(1)设幼点为M,我坐标为“,刃，当X沸3时♦由条件可用t1M上2=-^ J=1'・二用・—与x-ax+aM’-d即惬r2-7=tnd(x*to)•政学(理工类〉因1参考答案第4页(共6页)J 又4(f,0)、49.0)的坐标满足/wr'一"=而,故依愿意，曲线C的方直为肃-丁・房.当mV-I时.曲线C的方界为£+4=1.C是热点在丁轴上的标1511:4F-ma当m=T时.曲段C的方程为丁♦尸C是IB心在原点的Bh当-1<E<0时，曲线C的方程为。-^・1.C是焦点在x轴上的桶叫当内;>。时，曲缝C的方程为二-二二1,C星焦点在X轴上的双曲线.<r*ma(II)由(1)知・当励=-1时.G的方程为必+/・。%当所£(-1,0川(。,+8)时，G的两个焦点分别为^(-aJTTw.0),—JI+m.0).对于给定的mw(-LQ)U(0.+8)•G上存在点“('斓仇-0)使得的充要条件是£+>；=/叱。 ①!・2as ②由CS得。旬M伯由②用［为IIMJl+ffT当。丁「I"W㈤”即4府＜。，0＜m//时・

7l+m 2 义存在点M使$=|何当牛巴*人即7Km＜与反，或画＞!!普过卜不存在清注条件的点M当内当内4,0>U©噌］时由“X■ +m一.一尸.).理弓6(tfjl+wr-4・一外)*可得诋而^=£-U+mW1+F：»-ma\》【而仁与'j福卜5叫3她由,内耳星,iate伊w―丽a工.可得耳尸］--1.5。从而S■gKtn0■"从而S■gKtn0■"可带--ftwJfan曰=je|a'*即由"4-21.’2 刖琮上可得।♦附I■"有♦