四随机过程的功率谱密度

四随机过程的功率谱密度2023/1/251第一页，共五十页，2022年，8月28日引言在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即第二页，共五十页，2022年，8月28日通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，称为信号的规范量。 一阶规范量，若模可积，即满足 则一阶规范量定义为 否则定义为6.1确定信号的大小、能量和功率确定信号的大小、能量和功率第三页，共五十页，2022年，8月28日二阶规范量，若模可积定义为

否则定义为第四页，共五十页，2022年，8月28日向量范数定义1.第五页，共五十页，2022年，8月28日显然第六页，共五十页，2022年，8月28日设信号s(t)为非周期实函数，且满足：

1)，即s(t)绝对可积；

2)s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。那么，s(t)的傅立叶变换存在，为又称为频谱密度，也简称为频谱。信号s(t)可以用频谱表示为确定信号的频谱和能量谱第七页，共五十页，2022年，8月28日信号s(t)的总能量为根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即其中称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。有限能量信号：是能量谱密度存在的条件第八页，共五十页，2022年，8月28日样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的因此，可以研究随机过程的功率谱。样本函数x(t)的截取函数随机信号的功率第九页，共五十页，2022年，8月28日截取函数的傅立叶变换截取函数应满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得第十页，共五十页，2022年，8月28日取集合平均可得随机过程的平均功率功率谱密度第十一页，共五十页，2022年，8月28日两个结论1、随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。若随机过程广义平稳2、若随机过程广义平稳第十二页，共五十页，2022年，8月28日1、功率谱密度为非负的，即2、功率谱密度是ω的实函数。3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即功率谱密度的性质第十三页，共五十页，2022年，8月28日截取函数为t的实函数，根据傅立叶变换的性质于是4、功率谱密度可积，即第十四页，共五十页，2022年，8月28日功率谱密度的表达式为 其中功率谱密度可表示为功率谱密度与自相关函数第十五页，共五十页，2022年，8月28日由得第十六页，共五十页，2022年，8月28日对于广义平稳随机过程则维纳－辛钦定理第十七页，共五十页，2022年，8月28日

双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上，称为双边带功率谱密度。

单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上，成为单边带功率谱密度。 单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为：

在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。第十八页，共五十页，2022年，8月28日

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的对应关系：第十九页，共五十页，2022年，8月28日例已知零均值平稳过程X(t)的第二十页，共五十页，2022年，8月28日第二十一页，共五十页，2022年，8月28日第二十二页，共五十页，2022年，8月28日第二十三页，共五十页，2022年，8月28日第二十四页，共五十页，2022年，8月28日第二十五页，共五十页，2022年，8月28日互谱密度

定义两个截取函数为二者满足绝对可积的条件，则联合平稳随机过程的互谱密度第二十六页，共五十页，2022年，8月28日

定义两随机过程的互功率为应用帕塞瓦定理第二十七页，共五十页，2022年，8月28日下面求平均功率，得平均功率

互功率谱密度定义为第二十八页，共五十页，2022年，8月28日1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)联合平稳，有

互谱密度与互相关函数第二十九页，共五十页，2022年，8月28日性质1：性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。

互功率谱密度性质互谱密度的性质第三十页，共五十页，2022年，8月28日性质3：若X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零

性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有性质5：互功率谱密度性质互谱密度的性质第三十一页，共五十页，2022年，8月28日周期图法本质是从各态历经过程功率谱定义得到的估计量，对于长度为N的随机序列X(n)

式中是X(n)的N点DFT。

6.6功率谱估值功率谱估值第三十二页，共五十页，2022年，8月28日Blackman-Tukey

本质是基于维纳－辛钦定理对于有限数据，谱密度估值为功率谱估值第三十三页，共五十页，2022年，8月28日算法改进无论周期图法还是BT法，均为渐进无偏，但不是一致估计量即真实谱越大的地方，也就是通常我们感兴趣的地方，谱估计量方差越大，越不可靠。改进算法有平均法、平滑法等功率谱估值第三十四页，共五十页，2022年，8月28日类似相关函数，在时域的高阶统计量称为高阶累量(Cumultants)，类似于功率谱密度，在频域高阶统计量称为高阶谱(Polyspectra)。对于零均值实随机变量X1X2X3X4，其对应的二阶、三阶和四阶累量为若均值不为零，则用替换。高阶统计量与高阶谱第三十五页，共五十页，2022年，8月28日目前高阶统计量用得最多的是三、四阶累量。三阶累积量在概率密度函数对称的情况下为零。 由于高斯变量有以下重要公式：可知高斯过程的四阶累量为零，它提供了研究随机过程与高斯过程差异的一个度量。第三十六页，共五十页，2022年，8月28日高斯过程定义：如果对于任意时刻，随机过程的任意n维随机变量服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n维概率密度函数为：式中m,x为n维向量

C为协方差矩阵

6.7高斯过程与白噪声高斯过程与白噪声第三十七页，共五十页，2022年，8月28日广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，而自相关函数只取决于时间间隔，则称此正态过程为广义平稳正态过程。

第三十八页，共五十页，2022年，8月28日性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相独立的

性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。

高斯过程性质第三十九页，共五十页，2022年，8月28日性质4：若正态随机过程在T上是均方可积的，则也是正态过程。性质5：若正态随机过程在T上是均方可微的，则其导数也是正态过程。高斯过程性质第四十页，共五十页，2022年，8月28日（1）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。噪声的分类

噪声的分类第四十一页，共五十页，2022年，8月28日一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即

的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。理想白噪声

白噪声过程第四十二页，共五十页，2022年，8月28日利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：白噪声的相关系数

若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。理想白噪声

带限白噪声第四十三页，共五十页，2022年，8月28日若白噪声的功率谱在内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为称这类白噪声为低通白噪声。自相关函数为

低通白噪声第四十四页，共五十页，2022年，8月28日如果N(t)