山东大学管理学院线性代数相似矩阵

第二节相似矩阵一、相似矩阵的概念定义4.2

设A、B都是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得

P－1AP＝B我们称A与B相似。记为“A～B”；P称为A与B相似的变换矩阵。显然，相似矩阵有如下简单性质：（ⅰ）A～A

（只需取P＝I）（ⅱ）如A～B，则必有B～A证明：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，有

P－1AP＝B所以A＝PBP－1即A＝(P－1)－1B(P－1)即是B～A（ⅲ）如A～B，B～C，则必有A～C。证明:因为A～B,B～C，所以存在可逆矩阵P1、P2P1－1AP1＝B，P2－1BP2＝C所以有P2－1（P1－1AP1）P2＝C即有（P1P2）－1A（P1P2）＝C所以A～C二、相似矩阵的性质

n阶矩阵A与B如果相似，则它们会有许多共同之处。

性质1.如A～B，则A与B有相同的特征值。证明：A～B，则存在可逆矩阵P有

P－1AP＝B

所以

|λI－B|＝|λI－P－1AP|

＝|P－1（λI－A）P|

＝|P－1||λI－A||P|

＝|λI－A|

即A与B的特征方程相同,∴A与B有相同的特征值。性质2.如A～B，则A与B的秩相同。证明：A～B，则存在可逆矩阵P有

P－1AP＝B(1)由于P可逆，可设

P＝T1T2…Ts(Ti为初等矩阵)代人（1）得（T1T2…Ts）－1A（T1T2…Ts）＝B∴Ts-1Ts-1-1…T2–1T1-1A（T1T2…Ts）＝B即A经过2s次初等变换可变成B，所以必有秩A＝秩B性质3.如A～B，则∣A∣＝∣B∣证明：A～B，则存在可逆矩阵P有

P－1AP＝B所以有∣B∣＝∣P－1AP∣＝|P－1||A||P|＝|A|性质4.如A～B，则A与B的奇异性相同（利用性质3可得此结论）例1.已知三阶矩阵A与B相似，A的特征值为1、2、3，求矩阵B2－2B的特征值。解：A与B相似，则B的特征值也为1、2、3由上节例3知B2-2B的特征值为－1、0、3。例2.设n阶矩阵A与B相似，证明A2-A与B2-B相似。证明：A与B相似。则存在可逆矩阵P，有

P-1AP＝B所以

B2＝(P-1AP)(P-1AP)＝P-1A2P可得P－1(A2–A)P＝P－1A2P－P－1AP＝B2－B因此可得A2–A与B2–B相似。矩阵与对角矩阵相似的条件一.判定定理.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。（记P为A的特征向量组成的矩阵，对角矩阵Λ是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵，则有P－1AP＝Λ，即A～Λ）.证明：（i）必要性如果A与对角矩阵Λ相似，则存在可逆矩阵P有

P－1AP＝Λ可得AP＝PΛ设P＝(X1X2…Xn)其中,Xi为P的第i列,由于P可逆，显然X1X2…Xn线性无关。下证Xi为特征向量再设又AP=A(X1X2…Xn)=（AX1AX2

…AXn）由AP=PΛ得：（AX1AX2

…AXn）=（λ1X1λ2X2

…λnXn）进而可得：AXi=λiXi(i=1,2,…,n)所以X1X2…Xn是A的n个线性无关的特征向量。(ii)

充分性设A有n个线性无关的特征向量X1X2…Xn，它们依次对应的特征值分别为λ1λ2…λn，则有AXi＝λiXi

令P＝(X1X2…Xn)则可得AP=A(X1X2…Xn)=（AX1AX2

…AXn）

PΛ＝（λ1X1λ2X2

…λnXn）∴AP＝PΛ∴P－1AP＝Λ即是A～Λ证毕.可以得到求求与A相似的对角矩阵Λ，以及相似似变换矩阵P的步骤：第一步：由由∣λI－A∣＝0求出特征值值。第二步：对对于每个λ，解方程组组(λI－A)X＝0求出基础解解系，最后后得到n个线性无关关的特征向向量X1X2…Xn。必有P–1AP=ΛΛ第三步：得得到例.矩阵求可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使P－1AP＝Λ。解:因此特征值值λ1＝1λ2＝-2当λ＝1时方程组（（λI－A）X＝0为其基础解系系为:其基础解系为:当λ＝－2时，方程组组（λΙ－A）X＝0为有P－1AP＝Λ因此特征值值λ1＝2λ2＝4当λ＝2时方程组(λI－A)X＝0为例:矩阵判定定理2.n阶矩阵A与对角矩阵阵相似的充充要条件是是对于每一一个ni重特征值λi有n个线性无关关的特征向向量。（即（λiI－A）X＝0的基础解系系有ni个）其基础解系为:所以矩阵A不与对角矩阵相似.例.已知

能对角化,求An(n1).解:先求A的特征方程程由此可见A有三个特征征值,λ1=0,λ2=λ3=1.因为A能够对角化化,必须对应于于重根λ2=λ3=1有两个线性性无关的特特征向量,对于特征值值λ=1时（λΙ－A）Y＝0为对其系数矩矩阵作行初初等变换,可以看出如如果此齐次次方程要有有两个线性性无关的基基础解系,就必须有两两个自由变变量,y3已经是一个个自由变量量,因此需要y2也是自由变变量,这就要求上上面矩阵的的第二行全全为零,即x+2=0,得x=-2此时这时候,A能对角化,所以存在方方阵T使上式两边同时左乘

T及右乘

T-1

可得

又∴例2设有矩阵(1)问矩阵A是否可对角角化,若能,试求可逆矩阵P和对角矩阵阵,使P-1AP=.(2)使P-1AP=成立的的P、是否唯唯一，，举例说说明.解单击这这里求求特征征多项项式和和特征征值（1）矩阵A的特征征多项项式为为当时,解方程程组即所以A的三个个特征征值分分别为为:单击这这里开开始求求解解之得得基础础解系系为所以是对应应于的特征征向量量.当时,解方程程组即解之得得基础础解系系为所以是对应应于的特征征向量量.单击这这里开开始求求解当时,解方程程组即所以是对应应于的特征征向量量.解之得得基础础解系系为单击这这里开开始求求解因为线性无无关即三阶阶矩阵阵A有三个个线性性无关关的特特征向向量,所以令则单击这这里求求逆矩阵A可对角角化.此时且有P-1AP=.（2）使P-1AP=成立的的P、不唯一一.如若取则此时亦有P-1AP=.单击这这里求求逆例3判定下下列矩矩阵是是否相相似于于对角角矩阵阵,若相似似,则求出出可逆逆矩阵阵P,使P-1AP是对角角矩阵阵.矩阵A是个对对角线线上的的元素素相同同的上上三角矩矩阵,注意任任何对对角矩矩阵、、上下下三角角矩阵阵的特特征值都是是其对对角线线上的的元素素,所以此此题A的特征征值为为使A=P-1P,但是P-1P=P-1EP=E就应有有A=E,这显然然不对对,所以说说A不相似似于对对则A不相似似于对对角矩矩阵,因为如如果A相似于于对角角矩阵,则就是单单位矩矩阵,且应有有可逆逆矩阵阵P,角矩阵阵.(1)解先求特特征值值，A的特征征多项项式为为A的特征征值为为再求特特征向向量单击这这里求求特征征值(2)解当时，解解方程程组即得对应应于的特征征向量量为单击这这里求求解当时，解解方程程组即得对应应于的特征征向量量为单击这这里求求解令则P可逆，，且有有因为3阶矩阵阵A找到了了个线性性无关关的特特征向量量，所所以方方阵A相似于于对角角矩阵阵.例4设相似于于对角角矩阵阵,求x与y应满足足的条条件.先求特特征值值,A的特征征多项项式为为所以A的特征征值为为A相似于于对角角矩阵阵的充充分必必要条条件是是,A有三个个线性无无关的的特征征向量量,解行变换所以x、y应满足足的条条件为为:特征向向量.的秩为为1,下面把把矩阵阵化为行行最简简形.应能找找到两两个线线性无无关的的即A的二重重特征征值这时就就要求求矩阵阵即例5设3阶矩阵阵A的特征征值为为对应的的特征征向量量依次次为求A和A100.因3阶方阵阵A的三个个特征征值互互不相相则A=PP-1.等,所以A可对角角化,即存在在可逆逆方阵阵P,使解令单击这这里开开始求求逆则且P-1AP=所以因为A=PP-1，所以A100=P100P-1,二.约当标标准形形简介介1.约当块块:约当块块的特特点是是主对对角线线都为为λ,次对角角线都都为12.约当形形矩阵阵(约当标标准形形)如果一一个分分块对对角矩矩阵的的所有有子块块都是是约当当块,即其中中J1，J2，…，Jn，都是是约当当块，，称J为约当形形矩阵阵，或称称为约当标标准形形。例如：：下列列矩阵阵都是是约当当形矩矩阵而下列列矩阵阵不是是约当当形矩矩阵注意:对角矩矩阵也也是一一种特特殊的的约当当形矩矩阵定理.对的n阶方阵阵A，都有有与之之相似似的约约当形形矩阵阵。即即是存存在n阶可逆逆矩阵阵P和约当当形矩矩阵J，有P－1AP＝J例如.如果4届矩阵阵A的特征征值λ1＝2，λ2＝λ3＝λ4＝3，但是是,如果λ＝3的线性性无关关的特特征向向量的的个数数为2,显然A不与对对角矩矩阵相相似,但A与J1相似(此时r(3I–J1)=2)如果λ＝3的线性无关关的特征向向量的个数数为1,显然A不与对角矩矩阵相似,但A与J2相似(此时r(3I–J1)=3)。结束9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。13:03:0913:03:0913:031/7/20231:03:09PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2313:03:0913:03Jan-2307-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。13:03:0913:03:0913:03Saturday,January7,202313、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。1月-231月-2313:03:0913:03:09January7,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。07一月月20231:03:09下下午13:03:091月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。一月231:03下午午1月-2313:03January7,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/713:03:0913:03:0907January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。1:03:09下下午1:03下下午午13:03:091月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Saturday,January7,202310、很多多事情情努力力了未未必有有结果果，但但是不不努力力却什什么改改变也也没有有。。。13:03:0913:03:0913:031/7/20231:03:09PM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2313:03:0913:03Jan-2307-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。13:03:0913:03:0913:03Saturday,January7,202313、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。1月-231月-2313:03:0913:03:09January7,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。07一一月20231:03:09下午午13:03:091月-2315、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。。一月231:03下下午午1月-2313:03January7,202316、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2023/1/713:03:0913:03:0907January202317、空山新新雨后，，天气晚晚来秋。。。1:03:09下午午1:03下午午13:03:091月-239、杨柳柳