高中数学人教A版2019必修第二册 8 3 2 圆柱 圆锥 圆台 球的表面积和体积 同步练习（解析版）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积基础巩固1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（）倍A．2 B．4 C．6 D．82．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2 B．1∶C．1∶ D．∶23．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A． B． C． D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81π B．100π C．14π D．169π5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛6．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？(1)求出球的半径；(2)求球的体积.能力提升9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．10．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．11．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.素养达成12．如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是，的中点，若将正三角形绕所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积.

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积基础巩固答案1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（）倍A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由球体体积公式，若，则，可知体积扩大到原来的8倍.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2 B．1∶C．1∶ D．∶2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81π B．100π C．14π D．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则QUOTE，所以QUOTE，所以米堆的体积为QUOTE=QUOTE，故堆放的米约为QUOTE÷1.62≈22，故选B.6．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．【答案】或【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,

当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；

当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是,

综上所求圆柱的体积是:或，

故答案为或;7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．【答案】2：1【解析】∵圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r=a，母线长l=a，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=，∵圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，故圆锥的底面半径r=a，母线长l=a，故圆锥的表面积S=πr（r+l）=，故它们的表面积之比为：2：1，故答案为：2：1．8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？(1)求出球的半径；(2)求球的体积.【答案】(1)5；(2).【解析】(1)设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面正方形的中心，设球的半径为，根据题意，球心到上底面的距离等于，而圆的半径为，由球的截面圆性质，得，解得；(2)将球的半径代入球的体积公式得.能力提升9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.10．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．【答案】【解析】由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，化简可得，；11．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【答案】（1）（2）时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为【解析】（1）圆锥的母线长为，∴圆锥的侧面积.（2）该几何体的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为rcm，由题意，知，.∴圆柱的侧面积，∴当时，圆柱的侧面积取得最大值