山东省东营市中国石油大学附属中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山东省东营市中国石油大学附属中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B试题分析：，因此可把的图象向右平移个单位，故选B．考点：三角函数的图象平移．2.已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动，则的最大值是(

)参考答案：C3.某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(oC)181310－1用电量(度)24343864

由表中数据得到线性回归方程，当气温为－4oC时，预测用电量约为

A．68度 B．52度 C．12度 D．28度参考答案：A4.设点为有公共焦点，的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C.考点：椭圆与双曲线的标准方程及其性质.【思路点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征的运用.5.已知集合，,则（

） （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝

（C）{0，1}

（D）｛-1，,0，1}参考答案：A6.已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（

）

A．40

B．36

C．30

D．24参考答案：B由题意得种型号产品抽取的件数为，选B.8.若正实数x，y满足x+y=2，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足x+y=2，∴=1，当且仅当x=y=1时取等号．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9.设是等差数列，若,则数列{an}前8项的和为（

）A.128

B.80

C.64

D.56参考答案：C10.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（

）

或

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ=．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求得y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得φ的值．【解答】解：∵y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+），∵g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=2sin（2x+2φ+）为偶函数，∴2φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题．12.已知角,构成公差为的等差数列.若，则=________.参考答案：13.下列四个命题中，真命题的序号有__________(写出所有真命题的序号)．

(1)将函数y=|x+1|的图象按向量=(-1，0)平移，得到的图象的对应函数表达式为y=|x|

(2)圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2．高☆考♂资♀源€网

☆

(3)若sin(α+β)=，sin(α-β)=，则tanα·cotβ=5．w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@m(4)方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；参考答案：（3）（4）14.A、B、C三点在同一球面上，∠BAC=135°，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为．参考答案：4【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离；球．【分析】运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到．【解答】解：由于∠BAC=135°，BC=2，则△ABC的外接圆的直径2r==2，即有r=，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R===，即有此球O的体积为V=πR3=π×（）3=4．故答案为：4．【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题．15.在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积的最大值为_________.参考答案：设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时,四边形ABCD面积有最大值.点睛:本题主要考查解三角形,属于中档题.本题思路:在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时,四边形面积有最大值.16.⊙A：(x－3)2+(y－5)2=1，⊙B:(x－2)2+(y－6)2=1，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若的最小值为

．参考答案：17.已知定义在R上的函数则=

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）

已知定点和直线上的动点，线段MN的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于x轴的对称点为点P.点关于轴的对称点为，求证：A，P，Q三点共线.参考答案：见解析【考点】复数乘除和乘方【试题解析】（Ⅰ）有题意可知：，即点到直线和点的距离相等.根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点.设的轨迹方程为：，，所以的轨迹方程为：.

（Ⅱ）由条件可知，则.联立,消去y得，.设，则，，.因为

，所以

,三点共线.19.已知等差数列的前项和为，且，。（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和参考答案：20.（12分）设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)，A(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．⑴当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；⑵证明：∠ABM=∠ABN．

参考答案：解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=或．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．

21.（本小题满分12分)如图1，已知四边形为菱形，且,,为的中点。现将四边形沿折起至，如图2。（I）求证：（II）若二面角的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值。参考答案：(1)证明:四边形为菱形，且…………1分

又

………………3分

又……………4分……………5分(注：三个条件中，每少一个扣1分)(2)解法一:以点为坐标原点,分别以线段所在直线为轴,再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴,建立空间直角坐标系如图所示.平面,为二面角的一个平面角,……………6分则,,………7分则.设,则由得解得………8分那么.设平面的法向量为,则,即.即.

………………9分而平面的一个法向量为.……10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.

………………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为………12分解法二:分别取中点,连结.由平面,可知为二面角的平面角,即有.……………6分

为中点,.,平面.则以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系,如右图.则由条件,易得,,,.……………7分再设,而,,则由,有,得.由,可得.将带入,可得,即,……8分则.而,设平面法向量为,则,即.令,得,即.…………9分而平面的一个法向量为.………………10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为………………12分解法三:过点作且至点,延长至点,使.连结,则为三棱柱.延长交于点,连结由三棱柱性质,易知,则平面.过点作于点,过作于点.平面,,,平面,即,.,平面,故为平面与平面所成锐二面角的一个平面角,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………8分易得,即为正三角形.,.,,则,故.,.故,……11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分

解法四:延长交于点,连结,取的中点,过点作于点,连结,如右图.

由平面,可知为二面角的一个平面角,即有.………………7分

为中点,.,平面,即且.又,平面,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………9分

而.易得,而,,则.由勾股定理,得,则,…………………11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分解法五:延长交于点,连结,过点作且与延长线交于点,连结.取中点,过点作于点,连结,如右图.且为平面内两条相交直线,平面内两条相交直线,平面平面.平面,平面,即为二面角的一个平面角,

即有.…………7分为中点,.,平面,即且.又,平面,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………9分而,则.易得,而,.,,则.由勾股定理,得,则,………11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分解法六:延长交于点,连结,过点作且与延长线交于点,连结.分别取中点,连结.再取中点,连结.且为平面内两条相交直线,平面内两条相交直线,平面平面.平面,平面,即为二面角的一个平面角,即有.………………7分由,得,则.为中点,.,平面.则以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系,如右图.易得,…………8分则有.设平面法向量为,则,即.令,得,即.…………………9分而平面的一个法向量为.……10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.………………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为…………12分22.（本题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；