凸函数的性质及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上 编号 学士学位论文凸函数的性质及其应用学生姓名： 胡 金 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 08级 指导教师： 宋爱丽 完成日期： 2012 年 4 月 30 日专心-专注-专业摘要凸函数是数学分析中的一个重要的概念，本文首先给出了凸函数的定义，然后给出了凸函数的几种性质及其等价性质，其次叙述凸函数常用的几种判别方法，最后给出凸函数在微分学，积分学，不等式证明及在高考数学中的应用。关键词：凸函数；定义；性质；判别；The nature of the convex function and its applicationAbstractC

2、onvex function is one of the important mathematical analysis of the concept, this paper presents the definition of the convex function, and then gives some properties of convex function and its equivalent properties, second narrative convex function of several normal identifying method, and finally

3、gives convex function in differential calculus, the integral calculus, inequality certificate and the application in mathematics.Key words：convex function；definition； properties；discriminant.目录引言凸函数是一类重要的函数，它的的概念最早见于jensen1905著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论

4、上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。对于凸函数的研究，在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的证明推导方面，凸函数起着十分重要的作用凸函数有其良好而独特的性质，由于凸函数理论的广泛性及其在数学各个领域都有广泛的应用，因此还应该对凸函数的理论作进一步的探讨，本文在已有的研究基础之上，总结了凸函数常用的定义及其等价关系，而后给出其一些很好的性质，利用这些性质将有助于我们解决许多不等式问题，在本文的第三部分将会详述。1.凸函数的等价刻划1.1凸函数的定义定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“”则是严格凸函数的定义.（1905

5、年丹麦数学家jensen首次给出如下定义）定义2 ：设在区间I上有定义, 在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3 设在区间I上有定义, 在区间I称为是凸函数当且仅当：,有 引理1 定义2与定义3等价。证明 定义3定义2只需取即可，定义2定义3用数学归纳法（1） 由定义2，时定义3显然成立，而时，有： 即对于也成立，对于任意自然数，将定义2中式子应用到n次，有：，即定义3对于成立（2） 设当时，定义3中式子成立即，令，则，则，由于定义3中式子对于成立，故不等式两端同乘，再减去，再除以，得到：，则定义3中式子对于一切自然数成立。引理2 若连续,则定义1，2，3等价证明 （1）定义1定义2，在定义1

6、中令，可得： （2）定义2定义1 ，为任意实数.若为有理数，设（为自然数）若为无理数，则存在有理数列，使，由的连续性即定义1中式子对任意成立。由引理1可知定义2与定义3等价，故定义1、2、3等价。事实上函数如果为凸函数我们可以断定此函数一定连续，下面我们给出一定理对此进行阐释。定理 1若函数在I上有定义且是凸的，则函数是I上的连续函数。证明：在区间上任取一点，总存在一个闭区间，且。从而在有界，即，满足。取点的邻域，且该邻域含于内，不妨设，且令，则。当时，有，且。由凸函数的性质得：即有： （1）及 即有： （2）由（1）（2）式可知：当时，有。故在处右连续。当时，同样可证在处左连续。 证毕1.2

7、连续条件下凸函数的等价刻划定理2 设函数在区间内有定义，在连续：，则称为区间上的凸函数。1.3一阶导数存在下凸函数的等价刻划定理3 在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的。定理4（判定定理） 设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增. 证明 （充分性）,不妨设及记，则,或 (1)由于 (1)式等价于 (2) 应用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2)式获证（必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左

8、导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的。1.4二阶导数存在下凸函数的等价刻划定理5（判定定理） 若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：。证明：（必要性）在内的充要条件是在内为递增，由定理4即证得。 （充分性）若在内，知是内的不减函数，再由定理4即得证。1.5补充定理引理3 区间上的函数是一个凸函数的充分必要条件为：对于区间上的任意三点，当时，有： 证明：此式子即为性质2.1中式子的变式。2.凸函数的性质性质2.1 设在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, 保持成立）：（i）在I上为凸函数 （1） （ii） （2）(iii) （3）(iv) （4

9、）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有。推论2 若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率 是x的增函数（若为严格凸的,则严格增）。推论3 若是区间I上的凸函数，则I上任意四点stuv有。推论4 若是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在，皆为增函数，且 这里表示的全体内点组成之集合.（若为严格凸的，则与为严格递增的）。证明 因为内点,故使得,从而（利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x)= .同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数。推论5 若在区间I上为凸的，则在任一内

10、点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续。性质2.2 设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有 。证明 （必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有. (充分性)设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的。性质2.3（不等式）若为上的凸函数，则 , ，有。证明 应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何 与都有现设及（i=1,2,k+1）,.令i=1,2,k,则.由数学归纳法假设可推得= = 即对任何正整数,上述不等式成立.推论 设在区间I上是凸函数,则对于任意的和

11、都有 性质2.4 若是区间上的凸函数（下凸函数）则及正数且有 性质2.5 若与均为区间上的凸函数，则也是此区间上的凸函数。 若为区间上的凸函数，则对于有也是此区间上的凸函数。 设与均为区间上的非负单调递增的凸函数，则也是此区间上的凸函数。 设是单调递增的凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数。证明：因为与均为凸函数，和由定义一可得： 两式相加便得：由定义知也是凸函数。 由于是上的凸函数，和有上式两端均乘以k可得：，由凸函数的定义知也为凸函数。 且和因为和在此区间上单调递增故：又因为和为区间上的凸函数，故有：由，将上面两式相乘得：故由凸函数的定义有也是凸函数。 因为是单调递增函数和是凸函数故

12、故 显然，所以也是凸函数。以上已给出凸函数的两个判定定理，即性质3及其推论，现再给出三条判定定理：判定定理 设定义于，且在上可导，为凸函数的充要条件是： ，有 设定义于上的可导函数，则为凸函数的充要条件为： 若和，且则为凸函数的充要条件为：3. 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质。例1 设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界。证明 设为任一闭子区间:（证明在上有上界）取.为凸函数，所以 其中. 故在上有上界；（证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以 , 从而 ， 即为在上的下界例2 设为区间内的凸函数，试

13、证：在I上的任一内闭区间上满足条件。证明 要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有 (1)因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，（其中分别表示在上的上下界）,从而 (2)若 可取由的凸性，有， 从而 由此可得(2)式成立.若，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切皆成立.因此（2）式当与互换位置也成立，故有，令则（1）式也获证.例3 设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限 与存在.证明 设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限 从而 亦存在3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多

14、好的结论,我们举例如下:例4 设是区间a,b上的凸函数，则。证明 设是上的凸函数，故有意义，当x时，a+b-x，故 =即 又因 = ，令 x=a+b-u得 =-=.故 = =（b-a）从而 作变换 t=，则有 =（b-a） =.从而 综上知 .例5 设函数在上递增,试证 函数为凸函数.证明 因 递增,积分有意义.且故由性质1知为凸函数。例6 设为上的凸函数,证明 有 （1）证明 因为凸函数, 由性质1推论4 ，存在且递增（当）.故(1)中的积分有意义.对任作一分划 有 参看性质2，我们有 于是由.(1)式知 .将分划无限分细,令 同理有 例7 设 是上的一个凸函数，则对于，时有 . （a）证明

15、 不妨设，当时，（a）显然成立，当时，设 ，那么由已知性质，函数F任是上的凸函数，而由引理3得.即 再注意到既得所证不等式。3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由性质4证明了不等式，并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设 证明 证明 由于函数在区间上是凸函数，由凸函数的性质，即性质4有 由于不可能同时相等，从而有例 9 设函数是区间上的凸函数，对于 则 证 明 由于,则由性质1中（4）式，有 即令,对上式两边求和，有 即例 10 设及则有(赫尔德)不等式成立： 当且仅当与成正比例时等号成立.证明 取=，因为，所以在上为凸函数,由性质4得:

16、 即 ， 亦即 令 则有，于是有 令 ，则有 当与成正比例时，即 (为正常数，)当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立。例11 设和 是两组正数， .证明 。 证明 要证原不等式即要证明 。 令,则由于，所以为凹函数，由不等式 即得所证。例12 证明证明 设，则 （用不等式） 所以 由于不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立。例 13 证明不等式，其中均为正数.证 明 设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而.即又因 , 所以 。例14 应用不等式证明：设，有 证明 取函数, . 因为是区间上严格凹函数，则对及1. ，则

17、上式等号成立 ; 2.若不全相等，则由不等式 即即因为在上单调递增,综合结论得，命题成立。3.4用凸函数的性质分析高考题在高中数学学习中，我们会经常见到凸函数，最后我们来看看在高考中利用凸函数的性质证明不等式的例子。例15 求证：对于任意，函数，都有.（2009扬州高考模拟真题）证明 由定义一欲证，只要证在是凸函数. ，当时，.则由凸函数的性质是凸函数，则有.例16 （2005高考数学全国卷理科第22题） （）设函数log+log。求得最小值。（）设正数满足，证明log+log+log（）解 构造函数log，那么log，其中，则.由于log+，.由定义知道在区间为凸函数。由定义2可得 ，即 即

18、最小值为（）证明 因为正数满足，根据性质5有，即，所以即 log+log+log 参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析第三版，高等教育出版社,2001年.2 郭素霞，关于凸函数定义的讨论A.衡水师范专科学校2000,1008-0049-04.3 狄雷，凸函数的性质及其应用（2），A.南京晓庄学院，1672-7894（2009）03-272-02.4 裴礼文.数学分析中的典型问题和方法,高等教育出版社,1988年.5 徐利治等.大学数学解题法诠释第一版,安徽教育出版社，1999年.6 李明生.高等数学下的函数与不等式高考试题分析J.黄冈师范学院学报2009，（6）:21-24.7 赵思林.研究高考数学试题的几种视角J.中学数学教学参考，2009，（4）:57-60.8 张从军. 数学分析,安徽大学出版社，2000年.9 孙本旺，汪