2023年陕西省商洛市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年陕西省商洛市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

2.

3.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为

A.2B.-2C.3D.-3

4.

5.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

6.当x→0时，sinx是sinx的等价无穷小量，则k=()A.0B.1C.2D.3

7.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

8.

9.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

10.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

11.

12.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

13.

14.

15.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

16.

17.

18.

19.A.A.1B.2C.3D.4

20.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.y"+8y=0的特征方程是________。

26.27.

28.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.37.38.39.

40.

三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．43.

44.证明：

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

49.

50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.

53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．55.56.57.求微分方程的通解．58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．59.60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.62.求y=xlnx的极值与极值点．

63.设ex-ey=siny，求y'。

64.

65.

66.(本题满分10分)

67.

68.设

69.求曲线y=sinx、y=cosx、直线x=0在第一象限所围图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx。

70.求由曲线y=1眦过点(e，1)的切线、x轴及该曲线所围成平面图形D的面积A及该图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积Vy。

五、高等数学(0题)71.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

若自由项f(x)=Pn(x)eαx，当α不为特征根时，可设特解为

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)为x的待定n次多项式．

当α为单特征根时，可设特解为

y*=xQn(x)eαx，

当α为二重特征根时，可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx．

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0．

特征根为r1=1，r2=2．

自由项f(x)=xe2x，相当于α=2为单特征根．又因为Pn(x)为一次式，因此应选D．

2.A

3.C解析：

4.A

5.C本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点。

6.B由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1。

7.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

8.D

9.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

10.C

11.C解析：

12.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

13.C解析：

14.B

15.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

16.B

17.B

18.D

19.D

20.C

21.1本题考查了一阶导数的知识点。

22.23.

24.dx

25.r2+8r=0本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程为r2+8r=0。26.0

本题考查的知识点为无穷小量的性质．

27.

28.(2x-y)dx+(2y-x)dy

29.30.本题考查的知识点为极限运算．

31.y=0

32.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

33.-2y-2y解析：34.0．

本题考查的知识点为定积分的性质．

积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此

35.036.解析：

37.38.

本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的－般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

39.1

40.

解析：41.由等价无穷小量的定义可知42.由二重积分物理意义知

43.由一阶线性微分方程通解公式有

44.

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％46.函数的定义域为

注意

47.

列表：

说明

48.

49.

50.

51.

52.

则

53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

54.

55.

56.

57.

58.

59.60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.62.y=x1nx的定义域为x>0，

63.64.本题考查的知识点为二重积分的物理应用．

解法1利用对称性．

解法2

若已知平面薄片D，其密度为f(x，Y)，则所给平面薄片的质量M可以由二重积分表示为

65.

66.本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序．

积分区域D如图1