2023年甘肃省平凉市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年甘肃省平凉市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

2.A.A.4B.-4C.2D.-2

3.A.A.1

B.

C.

D.1n2

4.

5.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

6.

7.A.A.2B.1C.0D.-1

8.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

9.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

10.A.A.4/3B.1C.2/3D.1/3

11.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

12.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

13.

14.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

15.设函数f(x)=则f(x)在x=0处()A.可导B.连续但不可导C.不连续D.无定义

16.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根

17.A.2B.1C.1/2D.-2

18.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

19.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

20.设函数f(x)=2lnx+ex，则f(2)等于（）。

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

二、填空题(20题)21.

22.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．

23.

24.设f(x)=x(x-1)，贝f'(1)=_________．

25.已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则∫01xf"(x)dx=________。

26.

27.过原点且与直线垂直的平面方程为______．

28.微分方程y＝0的通解为．

29.

30.

31.设Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，则Ф"(x)=________。

32.

33.

34.

35.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

36.

37.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=______．

38.

39.________.

40.

三、计算题(20题)41.

42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

43.

44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

46.证明：

47.求微分方程的通解．

48.

49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

51.

52.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

53.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

54.

55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

56.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.

59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

四、解答题(10题)61.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.求微分方程y＋y-2y=0的通解．

69.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解。

70.

五、高等数学(0题)71.求

六、解答题(0题)72.求∫sin(x+2)dx。

参考答案

1.C

2.D

3.C本题考查的知识点为定积分运算．

因此选C．

4.D

5.D解析：

6.A

7.C

8.A

9.C

10.C

11.A本题考查的知识点为不定积分运算．

可知应选A．

12.A

13.C

14.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

15.A因为f"(x)=故选A。

16.B

17.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

18.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

19.B本题考查的知识点为不定积分换元积分法。

因此选B。

20.C

21.

22.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．

23.0．

本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

24.1

25.2由题设有∫01xf"(x)dx=∫01xf"(x)=xf"(x)|01-|01f"(x)dx=f"(1)-f(x)|01=f"(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。

26.

本题考查的知识点为两个：参数方程形式的函数求导和可变上限积分求导．

27.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

28.y＝C．

本题考查的知识点为微分方程通解的概念．

微分方程为y＝0．

dy＝0．y＝C．

29.00解析：

30.6x26x2

解析：

31.用变上限积分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，则Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。

32.f(x)本题考查了导数的原函数的知识点。

33.1/2本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，

34.

35.-sinx

36.1/2

37.cosxcosx解析：本题考查的知识点为原函数的概念．

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)'=cosx．

38.

39.

40.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

41.

则

42.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

43.

44.

45.函数的定义域为

注意

46.

47.

48.

49.

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.

52.

53.由等价无穷小量的定义可知

54.

55.

列表：

说明

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.

60.由二重积分物理意义知

61.

本题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数符号判定函数的单调性．

证明方程f(x)=0在区间(a，b)内有唯一实根，往往分两步考虑：(1)根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明．(2)根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少．

62.本题考查的知识点为偏导数运算．

63.

64.