2023年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.

B.

C.

D.

3.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

4.A.A.1

B.

C.m

D.m2

5.

6.

7.

8.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

9.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

10.

11.（）。A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.

15.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

16.

17.微分方程y'=x的通解为A.A.2x2+C

B.x2+C

C.(1/2)x2+C

D.2x+C

18.当x→0时，x2是2x的A.A.低阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.高阶无穷小

19.设平面则平面π1与π2的关系为()．A.A.平行但不重合B.重合C.垂直D.既不平行，也不垂直

20.

A.1B.0C.-1D.-2

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.设y=1nx，则y'=__________．

25.

26.

27.求

28.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f(0)=__________

29.函数f(x)=2x2-x+1，在区间[-1，2]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_________。

30.级数的收敛区间为______．

31.

32.

33.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

34.

35.

36.

37.设y＝3＋cosx，则y＝．

38.

39.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

42.证明：

43.

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

46.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

47.求微分方程的通解．

48.

49.

50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

51.

52.

53.

54.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

60.

四、解答题(10题)61.

62.已知f(x)在[a，b]上连续且f(a)=f(b)，在（a，b)内f''(x)存在，连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，试证在（a，b)内至少有一点ξ使得f''(ξ)=0.

63.

64.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.

65.

66.用铁皮做一个容积为V的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小。

67.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

68.

69.求fe-2xdx。

70.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy.

五、高等数学(0题)71.级数

()。

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A解析：

2.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

3.D解析：

4.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小量代换．

解法1

解法2

5.D

6.D

7.A

8.B

9.A

10.B

11.D由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。因此选D。

12.B解析：

13.A

14.C

15.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

16.C

17.C

18.D

19.C本题考查的知识点为两平面的位置关系．

由于平面π1，π2的法向量分别为

可知n1⊥n2，从而π1⊥π2．应选C．

20.A

本题考查的知识点为导数公式．

可知应选A．

21.0

22.0．

本题考查的知识点为定积分的性质．

积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此

23.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。

24.

25.

26.x/1=y/2=z/-1

27.

=0。

28.

29.1/2

30.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

31.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算．

32.本题考查的知识点为无穷小的性质。

33.y=Ce-4x

34.＜0本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点。

35.

本题考查的知识点为导数的四则运算．

36.1/3

37.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

38.

39.-sinx

40.1/4

41.

42.

43.

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

45.函数的定义域为

注意

46.由二重积分物理意义知

47.

48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.

51.

52.

53.

54.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

55.

56.由等价无穷小量的定义可知

57.

列表：

说明

58.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

59.

60.

则

61.

62.由题意知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)内有一点η1，使得f'(η1)=0，在（c，6)内有一点η2，使得f'(η2）=0，这里a＜η1＜c＜b，再由罗尔定理，知