2023年湖南省益阳市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省益阳市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.A.4B.-4C.2D.-2

2.

3.A.e-2

B.e-1

C.e

D.e2

4.

5.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

6.A.dx+dy

B.

C.

D.2(dx+dy)

7.

8.A.A.

B.

C.

D.

9.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

10.A.2B.1C.1/2D.-2

11.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

12.设球面方程为(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为()A.(-1，2，-3)；2B.(-1，2，-3)；4C.(1，-2，3)；2D.(1，-2，3)；4

13.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

14.A.A.4B.3C.2D.1

15.过点(1，0，O)，(0，1，O)，(0，0，1)的平面方程为（）A.A.x＋y＋z=1

B.2x＋y＋z=1

C.x＋2y＋z=1

D.x＋y＋2z=1

16.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.极大值f(4，1)=63B.极大值f(0，0)=20C.极大值f(-4，1)=-1D.极小值f(-4，1)=-1

17.A.等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶无穷小

C.f(x)是比g(x)低阶无穷小

D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

18.下列反常积分收敛的是（）。

A.

B.

C.

D.

19.

20.

二、填空题(20题)21.设，则y'=________。22.

23.

24.

25.26.

27.

28.

29.设z=x2y+siny，=________。30.设，则f'(x)=______．31.

32.

33.设y=cosx，则dy=_________。

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.

43.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．44.

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．48.证明：49.50.51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54.求曲线在点(1，3)处的切线方程．55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．56.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．59.求微分方程的通解．

60.

四、解答题(10题)61.求，其中D为y=x-4，y2=2x所围成的区域。62.

63.

64.

65.

66.(本题满分8分)计算67.设y=ln(1+x2)，求dy。

68.

69.70.求微分方程xy'-y=x2的通解．五、高等数学(0题)71.求

的极值。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.A解析：

3.D由重要极限公式及极限运算性质，可知故选D．

4.B

5.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

6.C

7.C

8.Dy=cos3x，则y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此选D。

9.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

10.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

11.A由于

可知应选A．

12.C

13.C

14.C

15.A

16.D

17.D

18.D

19.B

20.A解析：

21.

22.

23.3

24.

25.

26.

27.

28.29.由于z=x2y+siny，可知。

30.本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

31.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

32.

33.-sinxdx

34.

35.

36.

37.

38.2

39.

40.e-6

41.

42.

43.

44.

则

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％46.由等价无穷小量的定义可知

47.

48.

49.

50.

51.

52.函数的定义域为

注意

53.由二重积分物理意义知

54.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

55.

列表：

说明

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.66.本题考查的知识点为计算反常积分．

计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．

67.

68.

69.70.将方程化为标准形式本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

71.

∴I"(x)=x(