初识极值点偏移

专题0L初识极值点偏移一、极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量X都有f(x)=f(2m-x)，则函数f(x)关于直线x=m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x=m必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0 x + x+x 若f⑴*的两根的中点为十，则刚好有亍=x，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x=m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m-x)或f(x)vf(2m-x)，则函数f⑴极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f⑴定义域内任意不同的实数x「x2一、一.x+x满足f(x「=f(x2)，则F与极值点m必有确定的大小关系:x+x . x+x若mv12，则称为极值点左偏；若m>12，则称为极值点右偏.,、x 一 ,、 x+x如函数g(x)=e的极值点x0T刚好在方程g(x)=C的两根中点122之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式:若函数f(x)存在两个零点X,x且x^x，求证：x+x>2x(X为函数f(x)的TOC\o"1-5"\h\z12 1 2 1 2 0 0极值点)；若函数f(x)中存在x,x且x^x满足f(x)=f(x)，求证：x+x>2x(x为12 1 2 1 2 12 0 0函数f(x)的极值点)；若函数f(x)存在两个零点x,x且x。x，令x=x1[x2，求证：f'(x)>0；1 2 1 2 0 2 0x+x若函数f(x)中存在x,x且x。x满足f(x)=f(x)，令x=12，求证：12 1 2 1 2 0 2f(x)>0.0三、问题初现，形神合聚★函数f(x)=x2-2x+1+aex有两极值点x,x，且xvx.1 2 1 2证明：气+x2>4.【解析】令E(H)=/(x)=2k—2+街、』则是函数g(K)的两个零点■令此eG令页(x)=一四莫，则而(他)=用沔)，g2_x~—4 h'<x)=-^-,可得航#在区间(y\2)里调建腻在区间(2^)单调逢卸Q所以而令J7(h)=K2+x)-h(2-x),2x修M—o'**、则H‘(x)=h(2+x)-h'(2-x)="L二)，s-七当。<工<2时，H\x)<Q?丑由)单调谖减』有H0XH(O)=4所以h(2+x)<h(2-x)所以h(气)=h(x2)=h[2+(x2—2)]<h[2-(x2—2)]=h(4—x2)，因为x1<2，4—x2<2，h(x)在(—8,2)上单调递减所以x>4—x，即x+x>4.1 2 1 2★已知函数f(x)=lnx的图象C与函数g(x)=1ax2+bx(a丰0)的图象C交于P,Q，1 2 2过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M,N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.【分析】设P（礼M）,0地,y2）,0。地），则敏而:再，'叮勺，q x-点的横坐标改=斗=五?恐，JL-而，改是函数F"）23）-豉对的两个零点，原问题即探究可巨孑Sg‘（羹尹）的大小关系』JL- JL-即矿（与驾=/（查尹）-W（与蛰的符岳4 JL- JL-实店也是探究F（势的柢值点是否偏珍中点一四、招式演练★过点. 作曲线:>：：=<的切线.（1） 求切线的方程；（2）若直线与曲线、二交于不同的两点=•*：、「， ，求证： .hn【答案】（1）；「=：."一（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率打,=.'=••,再根据点斜式求切线方程•、.(2)本题是极值平移问题，先根据极值点q构造函数；= 利用导数研究函数祁对单调性;在〔•小F单调谢增，及最小值大于零，即得不等式格)M-4-M再根据等量转摄及单调性可得不等式:肽)*-4■以风虾4-勺，即f试题解析：(1)；= 设切点.％汨』贝>1气八，解得侦LFF因此vlf=LI的方程是¥=左・a⑵依题意有,% ，所以g+块七=g+设例=#十块七则%l=f(9-f(x)=lx+2]eS当亦-2时，f&XQ,当»项寸』『/>03所以f闵旺〔・，・单调逐湿』ffl-Z+F里调谏堵."不妨当""时，M"，裒.•宇在:土+",单调递增，所以顼：，匚¥'，所以当：-、时，•■•.•「!■■■'因为••《'「，所以■■■■.■1---■.■从而"|i」--!-、七，因为-4•一-.：，",，在：-s_-4单调递减，所以L ■.■，即X[Tx「-_4.极值点偏移问题在近几