天津万盛高级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

天津万盛高级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则等于

A．（-∞，5） B．（-∞，2） C． （1，2） D．参考答案：C2.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是

参考答案：B

【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．B9B12解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选：B．【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f′（2）＞f′（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．3.已知为等差数列，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是(

)A.18

B.19

C.20

D.21参考答案：C略4.要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝cos(2x－)的图象()A．向右平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B5.已知全集等于A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知函数，(R)，对于任意的，，，下面对的值有如下几个结论，其中正确的是（

）A.零

B.负数

C.正数

D.非以上答案参考答案：B略7.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是A.①② B.②③ C.②④ D.③④参考答案：C9.函数的图象在点处的切线方程是等于

A．1

B．2

C．0

D．参考答案：B10.定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数、满足，则的取值范围是

(

) A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为

；若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为

．

参考答案：169；略12.（6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，=．参考答案：2π,[2kπ﹣，2kπ+],.【考点】：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T==2π，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，f（）=sin（+）=sin==，故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．13.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．参考答案：

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，故答案为：．14.在△ABC中，，则角A的大小为____．参考答案：【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：，即则本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.15.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}，若A∩B={1}，则实数a的值为________参考答案：1由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为116.不等式+2x＞0的解集为

{．参考答案：x|x＜﹣3或x＞1}【考点】二阶矩阵；其他不等式的解法．【专题】矩阵和变换．【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为x2+2x﹣3＞0，由此能求出不等式+2x＞0的解集．【解答】解：∵+2x＞0，∴x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．17.圆心在直线上的圆C与x轴交于两点，则圆C的方程为___．参考答案：试题分析：先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=∴圆C的方程为．故答案为．考点：圆的标准方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：解：(1)证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，.(2)以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，依题意知，，有设平面的一个法向量，有代入得，设，有，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，有，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.略19.已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时，f（x）≤x恒成立，…当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．…20.已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值．参考答案：21.（本小题满分12分）在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（2）从50名学生中任选两人，用表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：解（1）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则

（5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为……（6分）（2）依题意可知X的可能取值分别为0，1