相似三角形培优试题学生

...wd......wd......wd...1、〔此题总分值7分〕如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：〔1〕； 〔2〕2、(此题总分值7分)如图11，△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△．〔1〕求四边形CEFB的面积；〔2〕试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；〔3〕假设，求AC的长．3、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.求证：△ADF∽△DEC假设AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.4、如图〔4〕，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点AcEcDcFcAcEcDcFcBcCcGc图〔4〕〔2〕假设正方形的边长为4，求的长．5．如图〔15〕，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停顿．设动点运动的时间为秒．〔1〕求边的长；〔2〕当为何值时，与相互平分；CcDcAcBcQcPc图〔5〕〔3〕连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值最大值是多少CcDcAcBcQcPc图〔5〕6．〔此题总分值9分〕 一块直角三角形木板的一条直角边长为m，面积为m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进展设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．图１Ｅ图１ＥGＢACFＡDＡＣＢDEF图２第6题图7、如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1〔如图2〕．〔1〕探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；〔2〕当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．8、〔此题总分值12分〕将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．图1图2观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=图1图2问题探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3图3拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.假设AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4图49.〔本小题12分〕如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上〔不与A、D重合〕，在AD上适当移动三角板顶点P：〔1〕、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由；〔2〕、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请你说明理由。参考答案1、证明：〔1〕四边形和四边形都是正方形3分4分〔2〕由〔1〕得∴AMN∽CDN2、解：〔1〕由平移的性质得． 3分〔2〕．证明如下：由〔1〕知四边形为平行四边形 5分3、〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=4、〔1〕证明：为正方形，1分3分又5分〔2〕解：为正方形，7分又正方形的边长为4．9分5．解：〔1〕作于点，如图〔3〕所示，那么四边形为矩形． 1分又 2分在中，由勾股定理得： 3分图〔3〕图〔3〕CcDcAcBcQcPcEc〔2〕假设与相互平分．由那么是平行四边形〔此时在上〕．4分即5分解得即秒时，与相互平分．7分〔3〕①当在上，即时，作于，那么即8分=9分当秒时，有最大值为10分②当在上，即时，=11分易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为12分6、〔此题总分值9分〕图１ＡＣＢDEFx解：由m，图１ＡＣＢDEFx由图1，假设设甲设计的正方形桌面边长为xm，由，得m．4分由图2，过点作斜边上的高交于，交于．由m，2m，得〔m〕．由可得，m． 6分设乙设计的桌面的边长为ym，ＥGＢAＥGＢACFＡD图２HＡPＡyＡ即，解得m．甲同学设计的方案较好 7、答案：〔1〕用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得AE’=BF’(2)取OE’的中点G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由AG=E’G得到∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是90°，即为直角三角形。8.解：情境观察AD〔或A′D〕，90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.9．解：①结论：能．设AP=xcm，那么PD=(10-x)cm．因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，所以∠DPC=∠ABP．所以△ABP∽△DPC．那么AB/PD=AP/DC，即AB·DC=PD·AP．所以4×4=X(10-X)，即x2-10x+16=0．解得x1=2，x2=8．所以AP=2cm或8cm．②结论：能．设AP=Xcm，CQ=ycm．由于ABCD是矩形，∠HPF=90°，所以△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ所以AP·CE=AB·CO，AP·PD=AB·DQ，所以2x=4y，即y=x/2，①x(10-x)=4(4+y)．②消去y，得x2-8x+16=0，解得x1=x2=4，即AP=4cm．一、选择题〔每题6分，共48分〕1．在△ABC中，D、F是AB上的点，E、H是AC上的点，直线DE//FH//BC，且DE、FH将△ABC分成面积相等的三局部，假设线段FH=，那么BC的长为〔〕 A．15 B．10 C. D．2．在△ABC中，DE//BC，DE交AB于D，交AC于E，且S△ADE：S四边形DBCE=1：2，那么梯形的高与三角形的边BC上的高的比为〔〕A．1： B．1： C．1： D．：3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=5，BC=8，那么S△ACD：S△CBD为〔〕A． B． C． D．4．如图1—5—1，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，那么△DEF的周长与△ABC的面积分别是〔〕A.，16 B.9，4C.，8 D.，165．如图1—5—2，在△ABC中，AD⊥BC于D，以下条件：〔1〕∠B+∠DAC=90°；〔2〕∠B=∠DAC；〔3〕；〔4〕AB2=BD·BC。其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有〔〕A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=BE，那么有〔〕A.△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD C.△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC，RS=6，PQ=9，，那么AB等于〔〕A. B. C. D.58．如图1—5—5，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3是BD的四等分点，连接AO1，并延长交BC于E，连接EO2，并延长交AD于F，那么等于〔〕A．：1 B．3：1 C．3：2 D.7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是〔〕A．等腰三角形B.任意三角形C．直角三角形D．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC和△A'B'C'中，AB：AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，那么这两个三角形〔〕A．相似，但不全等 B．全等C．一定相似 D．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD中，E是AB上的任一点，作EF⊥BD于F，那么为〔〕 A． B． C． D．12．如图1—6—2，把△ABC沿边AB平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠局部〔图中阴影局部〕的面积是△ABC的面积的一半，假设，那么此三角形移动的距离AA'是〔〕A． B． C．1 D13．如图1—6—3，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，那么四边形ABCD的面积是〔〕A． B． C．4 D．614．如图1—6—4，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，那么图中相似三角形共有〔〕A．3对 B．4对 C．5对 D．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm，且把斜边分成3：2两段，那么斜边上的中线的长为〔〕A.cm B．cm C．cm D．cm16．AD为Rt△ABC斜边BC上的高，作DE⊥AC于E，，那么=〔〕A． B． C． D．17．如图1—6—5，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，AB=m，BC=n，求CD的长。甲同学求得CD=m－n，乙同学求得,以下判断正确的选项是〔〕 A．甲、乙都正确 B．甲正确、乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲、乙都不正确18．如图1—6—6，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有〔〕A．1个 B．2个 C.3个 D．4个二、填空题〔每题4分，共16分〕20．如图1—5—6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，那么BC=_______________。21．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，那么此三角形的面积是____________________。22．在△ABC中，BD，CE分别为AC、AB边上的中线，M、N分别是BD，CE的中点，那么MN：BC=_______________________。23．在△ABC中，DE//BC，D、E分别在AB、AC边上，假设AD=1，DB=2，那么=_______________________。24．平行于△ABC的边AB的直线交CA于E，交CB于F，假设直线EF把△ABC分成面积相等的两局部，那么CE：CA=__________________。25．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与△ABC相似，那么x=________________________。26．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_______________________。三、计算题〔本大题共86分〕27．如图1—5—7，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为边向外作正方形ABDE，连接EC交AB于P点，过P作PQ//BC交AC于点Q。证明PQ=PB。28．如图1—5—8，DE//AB，EF//BC。求证：△DEF∽△ABC。29．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，S2△BCD=S△ABC·S△ADC。求证：BD=AC。30．如图1—5—9，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，在AD上取一点F，使，连接FE交CB的延长线于H，交AC于G，求证。34．如图1—5—10，AD是△ABC的中线，过△ABC的顶点C任作一直线分别交AB、AD于点F和点E，证明：AE·FB=2AF·ED。32．如图1—5—11，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c。点P是AB上一个动点〔P与A、B不重合〕。连接PC，过P作PQ//AC交BC于Q点。33．如图1—6—7，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BE=AB,且AE与BD交于F点，求证：。34．如图1—6—8，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。35．如图1—6—9，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证DF2=FG·FH。36．如图1—6—10，AP是△ABC的高，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，〔1〕设DG=x，S矩形DEFG=y，试用a、h、x表示y；〔2〕按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于△ABC的面积选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】一、选择题〔每题6分，共60分〕1.A 2.D 3.B4.A 解析：如图D—1—24所示，∵D、E、F分别为△ABC三边中点∴，∴ 且∴∴ 又∴ 故∴选A5.A解析：验证法：〔1〕不能判定△ABC为直角三角形∵∠B+∠DAC=90°，而∠B+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠DAC同理∠B=∠C，不能判定∠BAD+∠DAC等于90°；〔2〕中∠B=∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC。∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在〔3〕中，可得△ACD∽△BAD，∴∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，∴∠BAD+∠DAC=90°；〔4〕中AB2=BD·BC，即，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形。∴正确命题有3个选A。6.B解析：直接法。注意到∠A=∠C=60°可设AD=a，那么AC=3a，而AB=AC=BC=3a所以AE=BE=，所以。又，所以，∠A=∠C=60°，故△AED∽△CBD，选B。7.A8.B9.D 10.D 11.A 12.C13.C解析：由∠B=∠D=90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD，它们的延长线交于E，那么得到Rt△BCE和Rt△ADE由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∴S△ADE=×2×2=2.又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，选C14.D解析：由AB//CD，可得△CGF∽△BGA，△ABE∽△FDE又由AD//BC，可得△CGF∽△DAF，△AED∽△GEB还可得△DAF∽△BGA，△ABD∽△CDB，故共有6对。15.A 16.A 17.A18.C解析：直接法。假设有一点P，连接PD、PC设AP=x，那么PB=7－x图D—1—26〔1〕假设△PAD∽△PBC，那么，即得符合条件。 〔2〕假设△PAD∽△CBP，即，解得也符合条件故满足条件的点P有3个。二、填空题〔每题4分，16分〕19.解析：设三边长a－d，a，a+d〔d>0〕，那么〔a+d〕2=a2+〔a－d〕2，∴a=4d．∴三边之比为3：4：5．20.8 21.48 22.1：423.4 24.25.2解析：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC26.4解析：由△BAC∽△ADC可知三、解答题〔本大题共7