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文档简介

一、引例：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系三、牛顿–莱布尼兹公式第二节微积分基本定理二、积分上限的函数及其导数

第四章

一、引例变速直线运动中位置函数S(t)

与速度v(t)的联系另一方面,一方面，路程猜想:?(2)?二、积分上限的函数及其导数几何意义图中阴影部分面积.1.概念引入积分上限函数(或变上限积分)定理5.12.积分上限函数的性质则证需证：由积分中值定理得定理5.2(原函数存在定理)定理5.1有十分重要的意义：注1肯定了区间上的连续函数的原函数一定存在.2

积分上限函数如何求导数.3

初步揭示了定积分与原函数之间的关系.事实上，猜想：?证3.积分上(下)限函数求导法（不一致）例1

求下列函数的导数：解解解解方程两边对x求导数：解分析被积函数不是仅与积分变量t有关的函数，故不能直接用求导公式：先恒等变形：再求导：例2

求解分析这是型不定式，应用洛必达法则.(1)求极限问题4.积分上(下)限函数求导法的应用原式证(2)函数单调性设f(x)在[0,+)上连续，且f(x)>0,证明在(0,+)上单调增加.例3

只要证需证：x(0,+)所以F(x)在(0,+)上单调增加.连续(3)方程根的确定例4

证令(存在性)零点定理故

F(x)在[0,1]上单调增加,从而F(x)在(0,1)内至多有一个零点.(惟一性)综上所述：F(x)在(0,1)内只有一个零点，即方程只要证需证：(4)证明积分不等式证例5x[a,b]需证：亦即原不等式成立.定理5.3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式原函数,则牛顿-莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注故求定积分问题转化为求原函数的问题.

一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量,仍成立.解从而例6解0定积分关于积分区间的可加性例7解例8解注

有界函数f(x)的定积分是否存在以及定积分的值为多少与f(x)在积分区间上有限个点处的值无关；1º2º

对于绝对值函数及分段函数的积分，应分段积分.例9解Ot1xx2例10

下列运算是否正确？为什么？若不正确，请给出正确解答.答：不正确.错误分析：“有限个无穷小的和仍是无穷小”，其中“有限个”的含义是：在自变量的极限过程中个数是确定的.而在此处，随着n,个数也趋于无穷.正确解答：内容小结1.微积分基本公式——牛顿–莱布尼兹公式2.积分上(下)限函数求导公式思考题解所围成的图形面积最小.如右图，设所围面积为1.解求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.2.3.求解

的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中备用题

例1-1求下列函数的导数：解(1)解(2)解解解(6)解(6)所确定，即例2-1

确定常数a,b,c

的值,使解故又由,得（c≠0）例2-2

分析解例2-3解例4-1证因为(存在性)(惟一性)由罗尔定理知，与题设矛盾，从而唯一性得证.原式解例6-1计

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