四川省达州市大竹县石河中学2021年高一数学理测试题含解析

四川省达州市大竹县石河中学2021年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知集合A={y|y=log3x，x＞1}，B={y|y=3x，x＞0}，则A∩B=（） A． B． {y|y＞0} C． D． {y|y＞1}参考答案：D考点： 对数函数的值域与最值；交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题： 计算题．分析： 由条件求对数函数、指数函数的值域，得到A、B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答： 由x＞1可得y=log3x＞log31=0，∴A=（0，+∞）．再由x＞0可得y=3x＞30=1，可得B=（1，+∞）．∴A∩B=（1，+∞），故选D．点评： 本题主要考查求对数函数、指数函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.已知，则的值为（）。A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则在R上f（x）的表达式是(

)A．﹣x（x﹣2） B．x（|x|﹣2） C．|x|（x﹣2） D．|x|（|x|﹣2）参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数的表示方法．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，利用当x≥0时f（x）的解析式，求出f（﹣x）的解析式，再利用奇函数的定义，求出x＜0时的解析式，综合在一起，可得在R上f（x）的表达式．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x2+2x，∴f（x）=﹣x2﹣2x，故则在R上f（x）的表达式是x（|x|﹣2），故选B．【点评】本题考查利用奇函数的定义求函数的解析式的方法．4.已知两圆相交于A（－1，3）、B（－6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线上，则点（m，c）不满足下列哪个方程（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D5.下列命题正确的是（

）第一象限的角必是锐角

小于的角是锐角

长度相等的向量是相等向量

锐角是第一象限的角参考答案：D6.对3个非零平面向量，下列选项中正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.两两之间的夹角可以都是钝角参考答案：D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C错。【详解】(1)与在同一条直线上，故A错（2）可能为0向量，故B错（3）向量运算不满足交换律，所以C错（4）两两之间的夹角可以都是钝角，如都为故选：D【点睛】此题考查平面向量运算，向量两个特殊情况：共线和零向量。为常考考点，属于基础题目。7.在数列{an}中，已知，，，则{an}一定（

）A.是等差数列 B.是等比数列 C.不是等差数列 D.不是等比数列参考答案：C【分析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。【详解】因为，，，所以一定不是等差数列，故选C。【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(0,+∞)上单调递减，且，则不等式的解集为(A)(0,2)

(B)(2,+∞)

(C)(－∞,－2)∪(0,2)

(D)(－∞,－2)∪(2,+∞)参考答案：C由条件可知函数在时增函数，且，这样时，，时，，所以或，解集为，故选C.

9.设a=log3，b=（）

c=2，则

(

)Aa<b<c

B

c<b<a

C

c<a<b

D

b<a＜c参考答案：A10.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，所以，解得，由，，解得,故选B。【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q的取值范围是__________.参考答案：【详解】设三边按递增顺序排列为，其中.则，即.解得.由q≥1知q的取值范围是1≤q<.设三边按递减顺序排列为，其中.则，即.解得.综上所述，.12.已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为________．参考答案：略13.已知函数，，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是______．参考答案：【分析】由的单调性可得，求得的最小值为，再结合题意有且，从而解得答案。【详解】在上是减函数，故且，在上有意义，则，解得；而在上，，所以最小值为因为对任意的，都有故，即解得或（舍）所以综上【点睛】本题考查函数的综合应用，包含了恒成立问题，属于偏难题目。14.已知{an}是等差数列，Sn是它的前n项和，且，则____.参考答案：【分析】根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故

.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.15.在直角坐标系中,如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为

．参考答案：116.某校高一（1）班50个学生选择校本课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如表：模块模块选择的学生人数模块模块选择的学生人数A28A与B11B26A与C12C26B与C13则三个模块都选择的学生人数是

．参考答案：6【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据已知条件设三个模块都选择的学生人数是x，结合card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（C∩A）+card（A∩B∩C），构造关于x的方程，解出x值后，进而可得三个模块都选择的学生人数．【解答】解：设A={选修A的学生}，B={选修B的学生}，C={选修C的学生}则A∪B∪C={高三（1）班全体学生}，A∩B∩C={三个模块都选择的学生}设Card（A∩B∩C）=x，由题意知card（A∪B∪C）=50，Card（A）=28，Card（B）=26，Card（C）=26，Card（A∩B）=11，Card（A∩C）=12，Card（B∩C）=13，∵card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（C∩A）+card（A∩B∩C），∴50=28+26+26﹣11﹣12﹣13+x解得x=6故答案为：617.实数满足约束条件且仅在处取得最大值，求实数的取值范围______________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在上的最值及取最值时x的值．参考答案：考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的周期．（2）根据函数f（x）的解析式为，由，求得x的范围，可得函数的增区间．（3）根据x的范围，以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．解答： （1）因为=…（1分）==，…（3分）所以f（x）的最小正周期．…..（4分）（2）因为，由，…（6分）得，…..（7分）所以f（x）的单调增区间是．…（8分）（3）因为，所以．…..…（9分）所以．…..…..…．（10分）所以．…..…（12分）当，即x=0时，f（x）取得最小值1．…..…（13分）当，即时，f（x）取得最大值4．…..…（14分）点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是,的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.参考答案：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．

又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（4分）

（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，

∴四边形BCC1B1是正方形．

∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．

连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．

∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．

∵B1C与A1C相交于点C，

∴MN⊥平面A1B1C．（12分）

略20.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．参考答案：【考点】对数的运算性质．【分析】（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2∈M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．【解答】解：（1）若f（x）=∈M，在定义域内存在x0，则+1=0，∵方程x02+x0+1=0无解，∴f（x）=?M；（2）由题意得，f（x）=lg∈M，∴lg+2ax+2（a﹣1）=0，当a=2时，x=﹣；当a≠2时，由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，a∈．综上，所求的；（10分）（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，∴﹣3=，又∵函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，其中x0=a+1∴f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2∈M．（16分）【点评】本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．21.（本小题满分14分）已知

、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）.（Ⅰ）若||，且，求的坐标；（Ⅱ）若||=，且与垂直，求与的夹角的余弦值.参考答案：解：（1）设，由和可得：

，

∴

或

∴，或

……7分

（2）∴

，即∴，∴，所以，