四川省成都市都江堰第一中学2022年高三数学理测试题含解析

四川省成都市都江堰第一中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，D是BC边上一点，，，，则AB的长为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先求得的值，然后利用正弦定理解三角形即可.【详解】由题意，在△ADC中，由余弦定理可得：，则，在中，由正弦定理可得：，即：，据此可得：.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.阅读如下程序框图，如果输出i=1008，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜2014 B．S＜2015 C．S＜2016 D．S＜2017参考答案：D【考点】程序框图．【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：模拟执行程序，可得：S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；…观察规律可得：i=1008时，判断1008是奇数不成立，执行S=2×1008+1=2017，此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=1008．而此时的S的值是2017，故判断框中的条件应S＜2017．故选：D．3.设为虚数单位，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】复数乘除和乘方解：

故答案为：C4.设，若，，，则下列关系式中正确的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A考点：对数与对数函数因为=，

=，

所以，，=

故答案为：A5.已知集合S={y|y=2x}，T={x|y=lg（x+1）}，则S∩T=(

)A．（0，+∞） B．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，∴几何体的体积V=×3×2×2=4．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断数据所对应的几何量．6.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①；②；③；

④．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

（

）（A）①②③

（B）②③

（C）①③

（D）②③④

参考答案：B8.已知△ABC中,,，,,||=3,||=5,则与的夹角为()A、30° B、-150°

C、150° D、30°或150参考答案：C9.双曲线E：的离心率是，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，若的面积是1，则双曲线E的实轴长是（

）A. B.3 C.1 D.2参考答案：D分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为2.故选D.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：甲：函数为偶函数；乙：函数；丙：若则一定有你认为上述三个命题中正确的个数有

个 参考答案：212.函数的最小正周期为

.参考答案：13.的展开式中的系数为

.(用数字填写答案)参考答案：－20展开式的通项为，∴，∴的展开式中的项为，故系数为20。14.函数（）的最小正周期为_____，最大值为____.参考答案：．15.在平面四边形中，，则的最大值为

__

．参考答案：

考点：1、正弦定理、余弦定理应用；2、圆的性质.【方法点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理应用以及圆的性质，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.对正弦定理也是要注意两方面的应用：一是边角互化；二是求边求角.16.（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是，则

.参考答案：200了解商品最新信息的人数有，由，解得17.在正方形中，是的中点，是侧面内的动点且//平面，则与平面所成角的正切值得取值范围为______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程．（2）直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．19.如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解p．（Ⅱ）设，，y1≠0，y2≠0．切线l1：，代入y2=2x，求出，得到l1方程为，同理l2方程为，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x0x+y0y=8，联立方程利用韦达定理，代入可知M（x，y）满足，求出动点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解得p=1，（Ⅱ）设，，y1≠0，y2≠0．切线l1：，代入y2=2x得，由△=0解得，∴l1方程为，同理l2方程为，联立，解得，∵CD方程为x0x+y0y=8，其中x0，y0满足，，联立方程得，则，代入可知M（x，y）满足，代入得，考虑到，知．∴动点M的轨迹方程为，．20.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；（Ⅲ）若对任意，且恒成立，求的取值参考答案：（Ⅲ）设，则，只要在上单调递增即可。而当时，，此时在上单调递增；当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.略21.如图，已知直平行六面体中，，(I)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小.参考答案：解法一：（Ⅰ）在直平行六面体-中，

又

（Ⅱ）如图，连

易证

，又为中点，

，

取中点，连，则，