四川省成都市彭州中学实验学校2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

四川省成都市彭州中学实验学校2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）30，则必有

（

）A．f（0）＋f（2）<2f（1）

B.f（0）＋f（2）￡2f（1）C．f（0）＋f（2）32f（1）

D.f（0）＋f（2）>2f（1）

参考答案：C略2.有下列四个命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若有实根则”；④“若”的逆否命题.其中真命题个数为

.A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略3.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，，S为顶点O所对面的面积，分别为侧面的面积，则下列选项中对于满足的关系描述正确的为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】作四面体，，于点，连接，结合勾股定理可得答案。【详解】作四面体，，于点，连接，如图.即故选C.【点睛】本题主要考查类比推理，解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中，属于简单题。4.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

（

）A.(x∈(0,+∞))

B.C.(x∈R)

D.参考答案：C5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：B6.若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）A．（0，4） B．[4，9） C．[1，9） D．[1，4]参考答案：C【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断出在区间[3，5）上单调递增，得出即即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4，对称轴x=2，在区间[3，5）上单调递增∵在区间[3，5）上有零点，∴即解得：1≤m＜9，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题．7.函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2参考答案：B【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=2．故选：B．8.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（）A．直线MN与DC1互相垂直 B．直线AM与BN互相平行C．直线MN与BC1所成角为90° D．直线MN垂直于平面A1BCD1参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】在A中，由MN∥D1C，D1C⊥DC1，得直线MN与DC1互相垂直，故A正确；在B中，直线AM与BN相交；在C中：直线MN与BC1所成角为60°；在D中，MN∥平面A1BCD1．【解答】解：在A中：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，∴MN∥D1C，在B中：∵D1C⊥DC1，∴直线MN与DC1互相垂直，故A正确；取DD1中点E，连结AE，则BN∥AE，由AE∩AM=A，得直线AM与BN相交，故B错误；在C中：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则M（0，1，2），N（0，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，2），cos＜＞===﹣，∴直线MN与BC1所成角为60°，故C错误；在D中：∵=（0，1，﹣1），A1（2，0，2），=（0，2，﹣2），∴∥，∵MN?平面A1BCD1，A1B?平面A1BCD1，∴MN∥平面A1BCD1，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.若函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在（0，2）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵，∴a≥3，故选A10.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（

）A．当时，， B．当时，，C．当时，， D．当时，，参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线平面，，直线，，直线，，则直线、的关系是_________________．

参考答案：12.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得

．参考答案：

13.若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为

．参考答案：﹣5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f′（2）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=1处有极值，∴f′（x）=（x2+c）+（x﹣2）×2x，∵f′（2）=0，∴（c+4）+（2﹣2）×2=0，∴c=﹣4，∴f′（x）=（x2﹣4）+（x﹣2）×2x，∴函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f′（1）=（1﹣4）+（1﹣2）×2=﹣5，故答案为：﹣5．14.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图，令an=f（），则a1+a2+a3+…+a2014=

．参考答案：0【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；8E：数列的求和．【分析】先根据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列an的各项，注意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+…+a2014的值．【解答】解：由图象可知，T=，解得T=π，故有．函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），｜φ｜＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）．a1=sin（2×+）=1a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1a8=sin（2×+）=…观察规律可知an的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，所以有：a2014=sin（2×+）=﹣1．则a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+=0．故答案为：0．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式和数列的求和，其中找出各项的取值规律是关键，属于中档题．15.一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________.参考答案：1216.已知为奇函数,,,则__________参考答案：617.要使不等式对于的任意值都成立，则的取值范围是________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，则与之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线具有的类似的性质，并加以证明．参考答案：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．类似的性质为：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1.又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝.19.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的几组对照数据：x（年）3

456y（万元）2.5344.5（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？参考公式：==，=y﹣x．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）计算平均数，，求出回归系数，写出回归方程；（2）利用回归方程求出x=10时的值即可．【解答】解：（1）计算xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，，…=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5；…回归系数；；故所求的回归方程为；…（2）当x=10时，利用y关于x的线性回归方程计算=0.7×10+0.35=7.35，…预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低9﹣7.35=1.65（万元），答：求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低1.65万元．…20.现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取件，求3件都是正品的概率．参考答案：解：（1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，……6分（2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种．设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为,所以

……………12分略21.由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设出弦AB中点坐标为（x，y），利用斜率关系可得方程，与圆O方程联立，可得范围．【解答】解：设弦AB的中点M的坐标为M（x，y），连接OP、OM，则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有x2+y2+（x﹣5）2+（y﹣12）2=169．整理，得x2+y2﹣5x﹣12y=0．其中﹣3≤x≤3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．22.（本小题满分8分）设为实数，函数．（I）若，求的取值范围；（II）讨论的单调性；（III）当时，讨论在区间内的零点个数．参考答案：（１）因为所以

当显然成立；当>０时，则有２≤１，所以≤，所以０<≤综上所述，的取值范围≤

………2分（２）对于其对称轴为<，开口向上所以在上单调递增对于其对称轴为>，开口向上所以在上单调递减综上所述：在上单调递增，在上单调递减；

………4分（3）由（2）得在