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文档简介
四川省巴中市平梁中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[﹣1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A. B. C. D.参考答案:C【考点】几何概型.【分析】根据圆心到直线l的距离d>r,列出不等式求出k的取值范围,利用几何概型的概率计算即可.【解答】解:圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为r=1;且圆心到直线l:y=k(x+2)的距离为d==,直线l与圆C相离时d>r,∴>1,解得k<﹣或k>,故所求的概率为P==.故选:C.2.设方程10x=|lg(﹣x)|的两根分别为x1、x2,则()A.x1x2<0 B.x1x2=1 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1参考答案:D【考点】指数函数与对数函数的关系.【分析】作出函数对应的图象,判断两个根的取值的大体范围,然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可.【解答】解:作出函数y=10x,y=|lg(﹣x)|的图象,由图象可知,两个根一个小于﹣1,一个在(﹣1,0)之间,不妨设x1<﹣1,﹣1<x2<0,则10=lg(﹣x1),10=|lg(﹣x2)|=﹣lg(﹣x2).两式相减得:lg(﹣x1)﹣(﹣lg(﹣x2)=lg(﹣x1)+lg(﹣x2)=lg(x1x2)=10﹣10<0,即0<x1x2<1.故选:D.3.设集合,则集合(
)
参考答案:B略4.球的表面积扩大到原来的2倍,则球的半径扩大到原来的
倍,球的体积扩大到原来的
倍.A.,
B.,
C.,
D.,参考答案:A略5.函数f(x)=lnx﹣的零点所在的大致范围是()A. B.(e,+∞) C.(1,2) D.(2,3)参考答案:D【考点】函数零点的判定定理.【分析】函数在(0,+∞)上是连续函数,根据f(2)f(3)<0,可得零点所在的大致区间.【解答】解:对于函数在(0,+∞)上是连续函数,由于f(2)=ln2﹣<0,f(3)=ln3﹣>0,故f(2)f(3)<0,故函数的零点所在的大致区间是(2,3),故选D.6.如图,假定两点P,Q以相同的初速度运动.点Q沿直线CD作匀速运动,;点沿线段AB(长度为单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离().令P与Q同时分别从A,C出发,那么,定义x为y的纳皮尔对数,用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是,其中e为自然对数的底.当点P从线段AB的三等分点移动到中点时,经过的时间为(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,再利用做匀速运动,利用路程除以速度可得时间.【详解】设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,两点,以相同的初速度运动,设点的运动速度为,,,,,,故选:D.【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.7.已知集合,Z,则(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:C8.已知圆,则圆心C到直线的距离等于A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:D【分析】化圆为标准方程,得圆心坐标即可求解【详解】由题,则圆心(-1,0),则圆心C到直线的距离等3-(-1)=4故选:D9.在等比数列中,则“”是“”的(
)(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件参考答案:A【知识点】充分条件与必要条件因为还可为-4
所以,能得出,但反之不成立
故答案为:A10.已知点,,向量,则向量.
.
.
.参考答案:B试题分析:根据题意有,,故选B.考点:向量的运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题:①、已知函数,则的图像与的图像关于直线对称;②、设函数,则“为偶函数”的充要条件是“”;③、等比数列的前项和为,则“公比”是“数列单增”的充要条件;④、实数,则“”是“”的充分不必要条件.其中真命题有
(写出你认为正确的所有真命题的序号).参考答案:①②④①、正确.在的图像上任取一点,则有,故点关于直线的对称点在的图像上,所以与的图像关于直线对称;提示:若函数满足,则的图像关于直线对称。②、正确.为偶函数
③、错误.充分性不成立.公比不能得到单增,如单减。必要性成立.单增成立
④、正确.如图,不等式“”表示的平面区域为,不等式“”表示的平面区域为两条平行直线和之间的部分,前者为后者的真子集,故命题正确.12.已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r=________.参考答案:-14解析:因为A∩B={-2},所以-2∈A且-2∈B,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,所以A={1,-2},因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},所以B={-2,5},所以q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10,所以p+q+r=-14.13.已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为.参考答案:450【考点】二面角的平面角及求法.【分析】如图,过点P作直线l∥AB,直线l就是平面PAB与平面PCD的交线,故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角,在直角△PAD△中可知∠DPA=45°.【解答】解:如图,过点P作直线l∥AB,直线l就是平面PAB与平面PCD的交线,∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥CD,又∵CD⊥AD,∴CD⊥面PAD即CD⊥PD,∴PD⊥l,PA⊥l,故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角,在直角△PAD△中可知∠DPA=45°.故答案为:45014.在△ABC中,tan=2sinC,若,则tanB=.参考答案:【考点】正弦定理;三角形中的几何计算.【分析】由正弦定理化简=可得:3sinB=2sinA①,由三角函数恒等变换的应用化简tan=2sinC,解得cosC=,C为三角形内角,可得C=.由①利用两角差的正弦函数公式及同角三角函数关系式即可解得tanB==.【解答】解:∵由正弦定理可得:,∴若=,则3b﹣2a=2sinA﹣3sinB,可得:6RsinB﹣4RsinA=2R(3sinB﹣2sinA)=﹣(3sinB﹣2sinA),∴可得:3sinB=2sinA①,∵tan==2sinC=2sin(A+B)=4sincos,解得:cos2=,∴=,解得:cosC=﹣cos(A+B)=,C为三角形内角,可得C=.∴由①可得:3sinB=2sin(B)=cosB+sinB,解得:tanB==.故答案为:.15.某几何体的三视图如下图所示,其左视图为正三角形,则该几何体的表面积为______________________;参考答案:略16.已知集合A={0,1},B={2,3,4},若从A,B中各取一个数,则这两个数之和不小于4的概率为.参考答案:考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:集合合A={0,1},B={2,3,4},从A,B中各取任意一个数,取法总数为6,这两个数之和不小于4的情况有2种,由此能求出两个数之和不小于4的概率解答:解:集合A={0,1},B={2,3,4},从A,B中各取任意一个数,取法总数为:2×3=6,这两个数之和不小于4的情况有,0+4,1+3,1+4共3种,∴这两个数之和不小于4的概率p==,故答案为:点评:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用17.等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)
已知不等式,对恒成立;
关于x的方程,一根在上,另一根在上。若为真命题,为假命题,求实数的取值范围。参考答案:19.(本题满分12分)已知数列前n项和,数列为等比数列,首项和公比满足,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,记数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数的最大值。参考答案:解:(Ⅰ)当n=1时,.当n≥2时,,验证时也成立.∴数列的通项公式为:
……………3分∵∴,∴数列的通项公式为:……………6分(Ⅱ)∵∴……①···············②由①-②得:∴
………9分不等式,可化为………(*)设,易知,函数在上单调递增,故当时,取得最小值为4,∴由题意可知:不等式(*)对一切n∈N*恒成立,只需.∴实数λ的最大值为4.……………………12分20.(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.参考答案:(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)
(Ⅲ)(方法一)依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得,,,.由为棱的中点,得.(Ⅰ)证明:向量,,故.所以,.(Ⅱ)解:向量,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)解:向量,,,.由点在棱上,设,.故.由,得,因此,,解得.即.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.取平面的法向量,则.易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.
(方法二)(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接,.由于分别为的中点,故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以.因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.(Ⅱ)解:连接,由(Ⅰ)有平面,得,而,故.又因为,为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.依题意,有,而为中点,可得,进而.故在直角三角形中,,因此.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)解:如图,在中,过点作交于点.因为底面,故底面,从而.又,得平面,因此.在底面内,可得,从而.在平面内,作交于点,于是.由于,故,所以四点共面.由,,得平面,故.所以为二面角的平面角.在中,,,,由余弦定理可得,.所以,二面角的斜率值为.21.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合:①对任意,恒成立;②对任意,存在与n无关的常数M,使恒成立.(1)若
是等差数列,是其前n项和,且
试探究数列与集合W之间的关系;(2)设数列的通项公式为,且,求M的取值范围.参考答案:解:(1)设等差数列的公差是,则解得………1分∴
(3分)∴∴,适合条件①又,∴当或时,取得最大值20,即,适合条件②.综上,………(6分)
(2)∵,
∴当时,,此时,数列单调递减;………9分
当时,,即,………1
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