四川省南充市保城乡中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省南充市保城乡中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知取得最小值时，a+b等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.若，，则（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：A3.已知函数f（x）=sinπx和函数g（x）=cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】由sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，可解得πx=+2kπ，k∈Z，可解得坐标：A（，），B（，﹣），求得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得OC=，即可求得△OAB面积．【解答】解：如图所示：∵sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，∴可解得：πx=π﹣（）+2kπ，k∈Z（无解），或πx=+2kπ，k∈Z∴可解得：x=+k，k∈Z，且x∈[0，2]，∴x=，或，∴解得坐标：A（，），B（，﹣）．∴解得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得：x=，及OC=．∴S△OAB=S△OAC+S△COB==．故选：A．4.已知，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.抛物线的焦点坐标是（

） A．（2，0）

B．（0，2） C．（l，0）

D．（0，1）参考答案：D略6.“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．【解答】解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．7.已知复数，其中为虚数单位，则复数所对应的点在（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D，对应坐标为（2，－1），在第四象限。8.在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上 D．点D在CB的延长线上参考答案：D【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．9.已知满足条件，则目标函数从最小值变化到时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为A. B. C. D.参考答案：A10.已知集合，，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．参考答案：8男运动员占所有运动员的比率是：，按性别分层抽样男运动员应抽取人。12.已知函数的定义域为.，若此函数同时满足：（i）当时，有；(ii)当时，有，则称函数为函数.在下列函数中：①；②；③.是函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）参考答案：①②【考点】分函数的性质。解析：由（i），得：，，即：，所以，函数是奇函数；由（ii），得：，，所以，函数是增函数。对于①函数为奇函数，且0，原函数是增函数，符合；对于②，与都是增函数，且是奇函数，符合；对于③是奇函数，但在R上不单调，不符合。答案：①②13.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半，由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=，故答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．14.将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则

.参考答案：考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ(k∈Z).15.包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．分析：先求出基本事件总数，再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数，由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率．解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，基本事件总数n=，甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m==4，∴甲与乙、丙都相邻的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．16.满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（2，3），∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1．∴可行域面积为S=．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.设变量，满足则变量的最小值为?

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线.(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2)抛物线的焦点为，若过点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于、两点，为抛物线上异于、的任意一点，记、、连线的斜率为、、，试求满足、、成等差数列的充要条件.参考答案：(1)由定义可得定点；(2)设，，由，得，由方程组，得得联立上述方程可得：.(3)设直线的方程为，代入，得：，设，，则，，若，即，有，即：，由此得：，∵，∴所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直.19.如图，已知椭圆F：的离心率，短轴右端点为，为线段的中点.(1)求椭圆F的方程；(2)过点任作一条直线与椭圆F相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：（1）

（2）存在

（4,0）(1)由已知，，又，即，解得，∴椭圆方程为.

(2)假设存在点满足题设条件.当⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有，即当与x轴不垂直时，设的方程为：y=k(x-1),代入椭圆方程化简得：(k2+2)xk2x+k=0设P（x1,y1）,Q(x2,y2)，则则=∵=2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=若，则=0即=0，整理得4k(x)=0

综上在轴上存在定点，使得20.（本小题满分12分）已知梯形中，∥，，，是边的中点，分别是上的点，且∥，设．如图，沿将四边形折起，使平面平面（1）当时，求证：；（2）当变化时，求四棱锥的体积的函数式．参考答案：（1）证明：如图，作于，连结，平面平面，平面.又平面，，∥，，四边形为正方形，

平面

又平面，

………6分（2）由（1）知，为四棱锥的高，

，，，……12分21.已知曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：（t为参数），（1）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（2）若M为曲线C2上一动点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；配方法；坐标系和参数方程．【分析】（1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；（2）利用已知，得到|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1，然后，得到|MC2|2=（5cosφ﹣1）2+16sin2φ=9cos2φ﹣10cosφ+17，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．【解答】解：（1）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，即：C1：（x﹣1）2+y2=1，∵曲线C2：（t为参数），∴（t为参数），∴平方相加后可得：C2：+=1．（2）设点M（5cost，4sint），则|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（5cost﹣1）2+16sin2t=9cos2t﹣10cost+17=9（cost﹣）2+，当cost=﹣1时，得|MC2|2max=36，|MC2|max=6，当cost=时，得|MC2|2min=，|MC2|min=，∴﹣1≤|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1，∴|MN|的取值范围[，6]．【点评】本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．22.（12分）（2015?大连模拟）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由正方形性质得CD⊥AD，由线面垂直得AE⊥CD，由此能证明CD⊥平面ADE．（2）以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，过点D平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量和平面BEF的法向量，由此能求出二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．解答：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．（2）解：由CD⊥平面ADE，得CD⊥DF，∴以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，过点D平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A