吉林省长春市龙成实验学校2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析

吉林省长春市龙成实验学校2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足z+i=3-i，则=（A）-1+2i

（B）1-2i

（C）3+2i

（D）3-2i参考答案：C由z+i=3-i得，z=3-2i，故选C.2.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则①OE⊥BD1；

②OE∥面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE的体积为定值；④OE与A1C1所成的最大角为90°．上述命题中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【分析】对4个选项，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①利用BD1⊥平面AB1C，可得OE⊥BD1，正确；②利用平面AB1C∥面A1C1D，可得OE∥面A1C1D，正确；③三棱锥A1﹣BDE的体积=三棱锥E﹣A1BD的体积，底面为定值，E到平面的距离A1BD为定值，∴三棱锥A1﹣BDE的体积为定值，正确；④E在B1处O，E与A1C1所成的最大角为90°，正确．故选D．3.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2(x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n时，有（

）A．f(-n)<f(n-1)<f(n+1)

B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)

C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)

D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)参考答案：B略4.已知，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.设函数的最小正周期为，且，则(

)A．在单调递减

B．在单调递减C．在单调递增

D．在单调递增参考答案：A因为且函数的最小正周期为，所以，所以，即函数，又函数，所以函数为偶函数，所以，即，因为，所以当时，，所以，当时，，此时函数单调递减，选A.6.已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十），则图中阴影部分所表示的集合为A.{0，1，2}B.{0，1}，C.{1，2}D.｛1｝参考答案：C略7.在⊙O中，直径AB，CD互相垂直，BE切⊙O于B，且BE=BC，CE交AB于F，交⊙O于M，连结MO并延长，交⊙O于N，则下列结论中，正确的是A.CF=FM B.OF=FB C.弧BM的度数为22.5° D.BC∥MN参考答案：D8.函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是(

) A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答： 解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．9.已知向量与向量平行，则锐角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=．参考答案：0考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=（）?（）=﹣（）?+，由数量积运算即可得出结论．解答：解：由题意可得PA=PD=1，=2，∴=（）?（）=﹣（）?+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案为0．点评：本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题．12.已知P、Q分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段PQ长度的最小值是

．参考答案：

解：依题意知，该正方体的内切球半径为1，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．13.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．参考答案：（，）略14.设为锐角，若，则的值为

．参考答案：15.定义运算，函数图象的顶点坐标是，且k、m、n、r成等差数列，则k+r的值为A.-5

B.14

C.-9

D.-14参考答案：C略16.函数的单调递减区间是

．参考答案：17.等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=

▲

(n?N*)．参考答案：3n+2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图像上，且在点处的切线的斜率为（I）求数列的通项公式；（II）若，求数列的前n项和.参考答案：（I）∵点在函数的图像上， …………1分当

…………3分当满足上式，

…………4分所以数列的通项公式为 …………5分

（II）由求导得

…………6分∵在点处的切线的斜率为 …………7分

…………8分用错位相减法可求得 …………12分19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…20.已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【解答】解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极值点，f′（x）=2﹣+，∴f′（1）=0，即2﹣b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，∴﹣，又∵x＞0（定义域），∴函数的单调减区间为（0，1]．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），∴，即2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣2=0，令h（x）=lnx+，，∴x=2．∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∵h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e2）=＞0，∴h（x）与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【点评】本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.选修4-1：几何证明选讲

如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD不经过点O，AC平分∠BAD，经过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，且CD2=AB·DF.

（1）△ABC～△CDF；

（2）EF是⊙O的切线.参考答案：略22.已知函数在其定义域上满足．（1）函数的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；（2）当时，求x的取值范围；（3）若，数列满足，那么：①若，正整数N满足

时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N；②若，求证：．参考答案：解：（1）依题意有．若，则，得，这与矛盾，∴，∴，故的图象是中心对称图形，其对称中心为点．………（3分）（2）∵，∴即又∵，∴得．…