吉林省长春市市第二十七中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析

吉林省长春市市第二十七中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，，则的大小顺序是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B2.满足f(x)＝f′(x)的函数是（

）A．

f(x)＝1－x

B．

f(x)＝x

C．

f(x)＝0

D．f(x)＝1参考答案：C略3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（

）

A

B

C

D参考答案：C4.已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C5.从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为（

）.11

.12

.13

.14

参考答案：A设中数字0的个数为m,数字1的个数为n，则数字-1的个数为50-m-n，由题意，解得，因此数字0的个数为11，故选7.已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．参考答案：A略8.由公差为d的等差数列重新组成的数列是（）A．公差为d的等差数列

B．公差为2d的等差数列

C.公差为3d的等差数列

D．非等差数列参考答案：B设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.

9.有下面事件：①如果a，bR，那a·b＝b·a；②某人买彩票中奖；③3+5>10．其中必然事件有（）A．②

B．③

C．①

D．②③参考答案：C10.以下程序运行后的输出结果为（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=﹣（x﹣1）2+m，g（x）=xex，若?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】函数最值的应用．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等价于f（x）max≥g（x）min，分别求出最值，即可得出结论．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等价于f（x）max≥g（x）min，∵g（x）=xex，∴g′（x）=（1+x）ex，x＜﹣1时，g′（x）＜0，x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴x=﹣1时，g（x）min=﹣，∵f（x）=﹣（x﹣1）2+m，∴f（x）max=m，∴m≥﹣，∴实数m的取值范围是[﹣，+∞）．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，：?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，转化为f（x）max≥g（x）min，是关键．12.在△ABC中，D在边AB上，CD平分，若，，且，则AB=________，△ABC的面积为_________．参考答案：

【分析】设，则，由角平分线的性质可得，由余弦定理可解得，可得的值，由余弦定理可求，结合范围，可求，，利用三角形的面积公式即可求得．【详解】由题意，如图，设，则，由于，所以，由余弦定理可得：，即：，解得：，可得：，，．由于，又，可得：，，可得：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

13.命题“，”的否定是

．参考答案：对略14.已知数列满足，则

.参考答案：略15.若直线经过抛物线的焦点,则实数=__________参考答案：—1

略16.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为

．参考答案：17.已知函数，若成立，则＝______参考答案：

14,

15,1

16，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：，从而可得．利用叠加法可得结论．【解答】（1）解：依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]∵，而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）∴f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）在[0，e﹣1]上为增函数，∴∴实数m的取值范围为m≤e2﹣2（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴显然，函数g（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴函数g（x）的最小值为g（0）=0∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2﹣ln1＜1，，，…，将以上n个等式相加即可得到：19.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意都成立，求整数k的最大值.参考答案：（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）3.【分析】（Ⅰ）通过求导分析函数单调性即可得最小值；（Ⅱ）由条件可得对任意都成立，记，通过求导分析函数单调性可得存在唯一的，在取唯一的极小值也是最小值，结合极值的等量关系可得，从而得解.【详解】（Ⅰ）的定义域是，令，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取唯一的极小值，也是最小值（Ⅱ）（注意），记，则考查函数，，在定义域上单调递增.显然有，，所以存在唯一的使得.在上，，单调递减；在上，，单调递增.所以在取唯一的极小值也是最小值，注意此时，所以，所以整数最大值可以取3【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵，∴∴由SAMPN＞32得又x＞0得3x2﹣20x+12＞0解得：0＜x＜或x＞6即DN的长取值范围是（Ⅱ）矩形花坛的面积为当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生

5

女生10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6.(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中n=a+b+c+d)参考答案：解：(1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为30.

……1分列联表补充如下：

……4分(注：直接给出列联表亦得4分)(2)∵

……6分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.

……7分(3)喜爱打篮球的女生人数ξ