《观察猜想与证明》能力提升

《观察、猜想与证明》能力提升解法发散.已知AB//CD,试问NB+NBED+ND=36".(用两种以上方法判断).如图2-101,已知NBED=NABE+NCDE,那么AB//CD吗？为什么？(用四种方法判断)变更命题发散.如图2-102,在折线ABCDEFG中，已知N1=N2=N3=N4=N5,延长AB,GF交于点M.那么，NAMG=N3,为什么？.如图2-103,已知AB//CD,N1=N2.试问NBEF=NEFC吗？为什么？(提示：作辅助线BC).分解发散如图2-104,AB//CD,在直线，AB和CD上分别任取一点E、F.(1)如图2-104,已知有一定点P在AB、CD之间，试问NEPF=/AEP+CFP吗？为什么？(2)如图2-105,如果AB、CD的外部有一定点P,试问NEPF=NCFP—NAEP吗？为什么？(3)如图2-106,AB//CD,BEFGD是折线，那么NB+NF+ND=NE+NG吗？简述你的理由.转化发散.判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一半..已知点C在线段AB的延长线上，AB=24cm,BC=-AB,E是AC的中8点，D是AB的中点，求DE的长.迁移发散平面上有10条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一点，这10条直线最多分平面为几个区域？综合发散.线段AB=14cm,C是AB上的一点，BC=8cm,又D是AC上一点，AD:DC=1:2,E是CB的中点，求线段DE的长..如图2-107,已知N1=N2=N3,NGFA=36。，NACB=60°,AQ平分NFAC,求NHAQ的度数..如图2-108,已知N1=N2,ZC=ZD,试问NA二NF吗？为什么？.如图2-109,已知ADLBC,EF±BC,N4=NC,那么N1=N2.谈谈你的理由.参考答案解法发散.解法1如图25,从E点作EF〃AB.•・NB+NBEF=180。（两直线平行，同旁内角互补）.XVAB^CD（已知）,..EF〃CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），••NFED+ND=180。（两直线平行，同旁内角互补），ZB+ZBEF+ZFED+ZD=360°,即ZB+ZBED+ZD=360°.解法2如图2-6、从E点作EF〃AB,则/gNB（两直线平行，内错角相等）.又•••AB〃CD（已知），.,.EF/7CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），，N2=ND（两直线平行，内错角相等）.VZ1+ZBED+Z2=36O°（周角的定义），.e.ZB+ZBED+ZD=360°（等量代换）..分析关键是找到“第三条直线”把原两条直线AB,CD联系起来.解法1如图27,延长BE交CD于F.有NBED=N3+N2,VZBED=Z1+Z2,AZ1+Z2=Z3+Z2.即N1=N3,从而AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.解法2如图2-8',过E点作EF,使NFED=NCDE,贝UEF〃CD.XVZBED=ZABE+ZCDE,AZFEB=ZABE.因而EF〃AB.•••AB〃CD（AB,CD者B平行于EF）.解法3、解法4可依据图2-夕、图2-10，，读者可自行判断.变更命题发散.判断理由如下：VZ1=Z2（已知）,，AM〃CD（内错角相等，两直线平行）.同理，VZ4=Z5,，GM〃DE,VZAMG=Z3（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）..判断理由如下：连结BC.VAB//CD（已知），.•・NABC=NBCD（两直线平行，内错角相等）.又・・・又1=/2,AZEBC=ZFCB（等量之差相等），・・.EB〃CF（内错角相等，两直线平行），，NBEF=NEFC（两直线平行，内错角相等）.分解发散（1）提示：过P作PQ〃AB,把NEPF分割成两部分NEPQ、ZQPF,利用平行线内错角相等判断.（2）提示：先求NCFP的等角N1,过Q点作QG〃PE,把N1分割成两部分，再利用平行线内错相等证明.ZEPF=Z1-ZAEP,又丁/1=NCFP,最后证得结论：ZEPF=ZCFP-ZAEP.（3）提示：过E、F、G作AB的平行线.转化发散.提示：考虑互补的两角有一条边互为反向延长线MN,过角的顶点作MN的垂线，只须证互补两角中的大角减小角的差等于小角的余角的2倍.—3.如图2-11',VBC=-AB,83AC=AB+BC=24+—x24=33.8又・・・E是线段AC的中点，，AE」AC」x33=16.5.22同理AD=,AB=,x24=12,22故DE二AE-AD=16.5-12=4.5（cm）.迁移发散..•一条直线将平面分成2个区域，加上第二条直线，区域数增加2,加上第三条直线，区域数又增加3......,加上第10条直线，区域数又增加10.・・・10条直线，按已知条件，将平面分成的区域数为n.则n=2+2+3+4+…+10=1+（1+2+3+4+..・+10）=56.综合发散.8cm..12°..提示：先判断DB〃EC,再判断DF〃AC..本题判断如下：VAD1BC（已知）,EF1BC（已知），AA