2023年四川省成都市中考数学试题及解析

第25页〔共25页〕2023年四川省成都市中考数学试卷一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求〕1．〔3分〕〔2023•成都〕﹣3的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣3D．32．〔3分〕〔2023•成都〕如下列图的三视图是主视图是〔〕A．B．C．D．3．〔3分〕〔2023•成都〕今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为〔〕A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×1074．〔3分〕〔2023•成都〕以下计算正确的是〔〕A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．〔﹣a2〕2=a4D．〔a+1〕2=a2+15．〔3分〕〔2023•成都〕如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，那么EC的长为〔〕A．1B．2C．3D．46．〔3分〕〔2023•成都〕一次函数y=2x+1的图象不经过〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．〔3分〕〔2023•成都〕实数a，b在数轴上对应的点的位置如下列图，计算|a﹣b|的结果为〔〕A．a+bB．a﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b8．〔3分〕〔2023•成都〕关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠09．〔3分〕〔2023•成都〕将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为〔〕A．y=〔x+2〕2﹣3B．y=〔x+2〕2+3C．y=〔x﹣2〕2+3D．y=〔x﹣2〕2﹣310．〔3分〕〔2023•成都〕如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和的长分别为〔〕A．2，B．2，πC．，D．2，二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕11．〔4分〕〔2023•岳阳〕分解因式：x2﹣9=．12．〔4分〕〔2023•成都〕如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，那么∠1=度．13．〔4分〕〔2023•成都〕为响应“书香成都〞建设号召，在全校形成良好的人文阅读风气，成都市某中学随机调查了局部学生平均每天的阅读时间，统计结果如下列图，那么在本次调查中，阅读时间的中位数是小时．14．〔4分〕〔2023•成都〕如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，那么折痕AE的长为．三、解答题〔本大题共6小题，共54分〕15．〔12分〕〔2023•成都〕〔1〕计算：﹣〔2023﹣π〕0﹣4cos45°+〔﹣3〕2．〔2〕解方程组：．16．〔6分〕〔2023•成都〕化简：〔+〕÷．17．〔8分〕〔2023•成都〕如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．〔参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕18．〔8分〕〔2023•成都〕国务院办公厅在2023年3月16日发布了?中国足球开展改革总体方案?，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边〞知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如下列图，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答以下问题：〔1〕获得一等奖的学生人数；〔2〕在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．19．〔10分〕〔2023•成都〕如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=〔k为常数，且k≠0〕的图象交于A〔1，a〕，B两点．〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；〔2〕在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．20．〔10分〕〔2023•成都〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．〔1〕求证：△ABC≌△EBF；〔2〕试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；〔3〕假设AB=1，求HG•HB的值．四、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕21．〔4分〕〔2023•成都〕比较大小：．〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕22．〔4分〕〔2023•成都〕有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们反面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x的不等式组有解的概率为．23．〔4分〕〔2023•成都〕菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如下列图的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，那么点An的坐标为．24．〔4分〕〔2023•成都〕如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．25．〔4分〕〔2023•成都〕如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程〞，以下关于倍根方程的说法，正确的是〔写出所有正确说法的序号〕①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②假设〔x﹣2〕〔mx+n〕=0是倍根方程，那么4m2+5mn+n2=0；③假设点〔p，q〕在反比例函数y=的图象上，那么关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④假设方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M〔1+t，s〕，N〔4﹣t，s〕都在抛物线y=ax2+bx+c上，那么方程ax2+bx+c=0的一个根为．五、解答题〔本大题共3小题，共30分〕26．〔8分〕〔2023•成都〕某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．〔1〕该商家购进的第一批衬衫是多少件？〔2〕假设两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%〔不考虑其他因素〕，那么每件衬衫的标价至少是多少元？27．〔10分〕〔2023•成都〕AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．〔1〕如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．〔i〕求证：△CAE∽△CBF；〔ii〕假设BE=1，AE=2，求CE的长；〔2〕如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，假设BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；〔3〕如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．〔直接写出结果，不必写出解答过程〕28．〔12分〕〔2023•成都〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a〔a＜0〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．〔1〕直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式〔其中k，b用含a的式子表示〕；〔2〕点E是直线l上方的抛物线上的一点，假设△ACE的面积的最大值为，求a的值；〔3〕设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？假设能，求出点P的坐标；假设不能，请说明理由．2023年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求〕1．〔3分〕〔2023•成都〕﹣3的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣3D．3考点：倒数．菁优网版权所有分析：根据倒数的定义，假设两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵﹣3×〔﹣〕=1，∴﹣3的倒数是﹣．应选：A．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：假设两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于根底题．2．〔3分〕〔2023•成都〕如下列图的三视图是主视图是〔〕A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．菁优网版权所有分析：根据原图形得出其主视图，解答即可．解答：解：A、是左视图，错误；B、是主视图，正确；C、是俯视图，错误；D、不是主视图，错误；应选B点评：此题考查三视图，关键是根据图形得出其三视图．3．〔3分〕〔2023•成都〕今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为〔〕A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．应选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．〔3分〕〔2023•成都〕以下计算正确的是〔〕A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．〔﹣a2〕2=a4D．〔a+1〕2=a2+1考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有分析：根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．解答：解：A、a2+a2=2a2，错误；B、a2•a3=a5，错误；C、〔﹣a2〕2=a4，正确；D、〔a+1〕2=a2+2a+1，错误；应选C．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法那么进行计算．5．〔3分〕〔2023•成都〕如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，那么EC的长为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．解答：解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，应选：B．点评：此题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．6．〔3分〕〔2023•成都〕一次函数y=2x+1的图象不经过〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有分析：根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．解答：解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，∴该直线经过第一、三象限．又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，∴该直线与y轴交于正半轴，∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．应选：D．点评：此题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答此题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．7．〔3分〕〔2023•成都〕实数a，b在数轴上对应的点的位置如下列图，计算|a﹣b|的结果为〔〕A．a+bB．a﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b考点：实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有分析：根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意数轴上右边的数总大于左边的数，即可解答．解答：解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=﹣〔a﹣b〕=b﹣a，应选：C．点评：此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．8．〔3分〕〔2023•成都〕关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析：在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足以下条件：〔1〕二次项系数不为零；〔2〕在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0解答：解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．应选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．9．〔3分〕〔2023•成都〕将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为〔〕A．y=〔x+2〕2﹣3B．y=〔x+2〕2+3C．y=〔x﹣2〕2+3D．y=〔x﹣2〕2﹣3考点：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有分析：先确定抛物线y=x2的顶点坐标为〔0，0〕，再根据点平移的规律得到点〔0，0〕平移后所得对应点的坐标为〔﹣2，﹣3〕，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为〔0，0〕，把点〔0，0〕向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为〔﹣2，﹣3〕，所以平移后的抛物线解析式为y=〔x+2〕2﹣3．应选：A．点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．〔3分〕〔2023•成都〕如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和的长分别为〔〕A．2，B．2，πC．，D．2，考点：正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．解答：解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==π，应选D．点评：此题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕11．〔4分〕〔2023•岳阳〕分解因式：x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕．考点：因式分解-运用公式法．菁优网版权所有分析：此题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕．故答案为：〔x+3〕〔x﹣3〕．点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式〞是防止错用平方差公式的有效方法．12．〔4分〕〔2023•成都〕如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，那么∠1=45度．考点：平行线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有分析：先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠1=∠ABC，即可得出答案．解答：解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵直线m∥n，∴∠1=∠ABC=45°，故答案为：45．点评：此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．13．〔4分〕〔2023•成都〕为响应“书香成都〞建设号召，在全校形成良好的人文阅读风气，成都市某中学随机调查了局部学生平均每天的阅读时间，统计结果如下列图，那么在本次调查中，阅读时间的中位数是1小时．考点：中位数；条形统计图．菁优网版权所有分析：由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1〔小时〕，即可确定出中位数为1小时．解答：解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1〔小时〕，那么中位数是1小时．故答案为1．点评：此题属于根底题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求，如果是偶数个那么找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．14．〔4分〕〔2023•成都〕如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，那么折痕AE的长为3．考点：翻折变换〔折叠问题〕；平行四边形的性质．菁优网版权所有分析：由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．解答：解：∵翻折后点B恰好与点C重合，∴AE⊥BC，BE=CE，∵BC=AD=4，∴BE=2，∴AE===3．故答案为：3．点评：此题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．三、解答题〔本大题共6小题，共54分〕15．〔12分〕〔2023•成都〕〔1〕计算：﹣〔2023﹣π〕0﹣4cos45°+〔﹣3〕2．〔2〕解方程组：．考点：实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：〔1〕原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法那么计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；〔2〕方程组利用加减消元法求出解即可．解答：解：〔1〕原式=2﹣1﹣4×+9=8；〔2〕①+②得：4x=4，即x=1，把x=1代入①得：y=2，那么方程组的解为．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．16．〔6分〕〔2023•成都〕化简：〔+〕÷．考点：分式的混合运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=•=．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．17．〔8分〕〔2023•成都〕如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．〔参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有分析：要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m，解直角△CEB，根据正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．解答：解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．18．〔8分〕〔2023•成都〕国务院办公厅在2023年3月16日发布了?中国足球开展改革总体方案?，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边〞知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如下列图，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答以下问题：〔1〕获得一等奖的学生人数；〔2〕在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．考点：列表法与树状图法；扇形统计图．菁优网版权所有分析：〔1〕根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；〔2〕列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．解答：解：〔1〕∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，∴三等奖所占的百分比为25%，∵三等奖为50人，∴总人数为50÷25%=200人，∴一等奖的学生人数为200×〔1﹣20%﹣25%﹣40%〕=30人；〔2〕列表：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，∴P〔选中A、B〕==．点评：此题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．19．〔10分〕〔2023•成都〕如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=〔k为常数，且k≠0〕的图象交于A〔1，a〕，B两点．〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；〔2〕在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有分析：〔1〕把点A〔1，a〕代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；〔2〕作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．解答：解：〔1〕把点A〔1，a〕代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A〔1，3〕，点A〔1，3〕代入反比例函数y=，得k=3，∴反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3，∴点B坐标〔3，1〕；〔2〕作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D〔3，﹣1〕，设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标〔，0〕，S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．点评：此题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．20．〔10分〕〔2023•成都〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．〔1〕求证：△ABC≌△EBF；〔2〕试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；〔3〕假设AB=1，求HG•HB的值．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：〔1〕由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；〔2〕BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；〔3〕如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．解答：〔1〕证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；〔2〕BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；〔3〕解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．点评：此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．四、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕21．〔4分〕〔2023•成都〕比较大小：＜．〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕考点：实数大小比较．菁优网版权所有分析：首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．解答：解：﹣==∵，∴4，∴，∴﹣＜0，∴＜．故答案为：＜．点评：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出﹣的差的正、负．22．〔4分〕〔2023•成都〕有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们反面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x的不等式组有解的概率为．考点：概率公式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有分析：由关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：，由①得：x＞3，由②得：x＜，∵关于x的不等式组有解，∴＞3，解得：a＞5，∴使关于x的不等式组有解的概率为：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．〔4分〕〔2023•成都〕菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如下列图的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，那么点An的坐标为〔3n﹣1，0〕．考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．菁优网版权所有专题：规律型．分析：先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．解答：解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，∴A1〔1，0〕．∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2〔3，0〕．同理可得A3〔9，0〕…∴An〔3n﹣1，0〕．故答案为：〔3n﹣1，0〕．点评：此题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．24．〔4分〕〔2023•成都〕如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，或．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，那么PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，那么CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．解答：解：①当BA=BP时，易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，那么AD⊥PB，AE=AB=4，∴BD=DP，在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，∴OE=3，易得△AOE∽△ABD，∴，∴，∴，即PB=，∵AB=AP=8，∴∠ABD=∠P，∵∠PAC=∠ADB=90°，∴△ABD∽△CPA，∴，∴CP=，∴BC=CP﹣BP==；③当PA=PB时如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，那么PF⊥AB，∴AF=FB=4，在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，∴OF=3，∴FP=8，易得△PFB∽△CGB，∴，设BG=t，那么CG=2t，易得∠PAF=∠ACG，∵∠AFP=∠AGC=90°，∴△APF∽△CAG，∴，∴，解得t=，在Rt△BCG中，BC=t=，综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，故答案为：8，，．点评：此题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．25．〔4分〕〔2023•成都〕如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程〞，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③〔写出所有正确说法的序号〕①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②假设〔x﹣2〕〔mx+n〕=0是倍根方程，那么4m2+5mn+n2=0；③假设点〔p，q〕在反比例函数y=的图象上，那么关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④假设方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M〔1+t，s〕，N〔4﹣t，s〕都在抛物线y=ax2+bx+c上，那么方程ax2+bx+c=0的一个根为．考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有专题：新定义．分析：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由〔x﹣2〕〔mx+n〕=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=〔4m+1〕〔m+n〕=0，故②正确；③由点〔p，q〕在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M〔1+t，s〕，N〔4﹣t，s〕都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．解答：解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②∵〔x﹣2〕〔mx+n〕=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，∴=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=〔4m+n〕〔m+n〕=0，故②正确；③∵点〔p，q〕在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，∴x2=2x1，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，∴设x1=2x2，∵相异两点M〔1+t，s〕，N〔4﹣t，s〕都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴x===，∴x1+x2=5，∴x1+2x1=5，∴x1=，故④错误．故答案为：②③．点评：此题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程〞的定义是解题的关键．五、解答题〔本大题共3小题，共30分〕26．〔8分〕〔2023•成都〕某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．〔1〕该商家购进的第一批衬衫是多少件？〔2〕假设两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%〔不考虑其他因素〕，那么每件衬衫的标价至少是多少元？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有分析：〔1〕可设该商家购进的第一批衬衫是x件，那么购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；〔2〕设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．解答：解：〔1〕设该商家购进的第一批衬衫是x件，那么购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10=，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．〔2〕3x=3×120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有〔360﹣50〕y+50×0.8y≥〔13200+28800〕×〔1+25%〕，解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．点评：此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．27．〔10分〕〔2023•成都〕AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．〔1〕如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．〔i〕求证：△CAE∽△CBF；〔ii〕假设BE=1，AE=2，求CE的长；〔2〕如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，假设BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；〔3〕如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．〔直接写出结果，不必写出解答过程〕考点：四边形综合题．菁优网版权所有分析：〔1〕〔i〕首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．〔ii〕首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．〔2〕首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．〔3〕首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．解答：〔1〕〔i〕证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ACE=∠BCF，在△CAE和△CBF中，，∴△CAE∽△CBF．〔ii〕解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠△CBF，，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵，AE=2∴，∴，∴EF2=BE2+BF2==3，∴EF=，∵CE2=2EF2=6，∴CE=．〔2〕如图②，连接BF，，∵==k，∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，∴AC=，CE==，∴，∠ACE=∠BCF，在△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF，∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=2，∴，∴BF=，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2=BE2+BF2=1，∵，∴=，CE=3，∴EF=，∴1，∴，解得k=±，∵==k＞0，∴k=．〔3〕∵∠DAB=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos135°=2=在△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF，∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=n，∴，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠C