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文档简介
专训4等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点睛】几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化,例如:“作三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍折半法证线段的倍分关系。EAF8[方法1]作“三线”中的“一线1•如图EAF8[方法1]作“三线”中的“一线1•如图,^ABC中,AB二AC,D是BC的中点,过A点的直线EFiiBC,且AE=AF,求证:DE=DF.解答:证明:如图,连接AD.•••△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,•••AD丄BC,•EFiiBC,•AD丄EF,又AE=AF,.•.AD垂直平分EF,•••DE二DF.[方法2]作平行线法2•如图,在MBC中,AB二AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.如图①,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD;如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.解答:(1)HP点作PFIIAC交BC于F.•••点P和点Q同时出发,且速度相同,•BP=CQ.•.•PFllAQ,•zPFB=zACB,zDPF=zDQC.•••AB二AC,azB=zACB,azB=zPFB,•••BP二PF,•••PF二CQ.vzPDF=zQDC,PF=CQ,zDPF=zDQC,.•.△PFD聖aQCD,•PD=QD.(2)ED的长度保持不变理由如下:由(1)知PB=PF.•PE丄BF,•BE=EF.由(1)知△PFD^^QCD,•FD=DC,•ED=EF+FD=BE+DC=1BC,2•ED为定值.[方法3]截长补短法3•已知:如图,在aABC中,AB二AC,D是SBC外一点,且zABD=60°,zACD=60°求证:BD+DC=AB.
•••△ABF为等边三角形,aAF=AB=AC=BF,zAFB=60°,•zACF=zAFC,又•.nACD=60。,•zAFB=zACD=60°•zDFC=zDCF,•dc=df.•bd+dc=bd+df=bf=ab,•。0乙二:)砒'。0乙二X:剖搦°0^I=x+xv-°08Idr°0^I=DV37+3V97v7°0^I=DV97--'xt-°08I=x^-x^-°08I=3V97,x^=g7/'x^=37+3V37=g3V7/'W^5D3Vv^93V7'-'x=D7=3V37W6二找t6二时6+虻二8里'QJ=3Q+2V-'G日二Mapw+日皿9找7二尹•••73V=9V-''(svs)aavv^]9vv--Vg二日g73av7=aav7'av=av06=3av7=9av7/D9TQV--'土场mm7av'as=jawtjg丑jgasK[方法4]加倍折半法5•如图,CE、CB分别是△ABC与aADC的中线,且zACB=zABC.求证:CD=2CE.•••CE是中线,BFiiAC,•••AE二BE,zA=zABF,zACE=zF,在^ACE和aBFE中,zA=zABF,zACE=zF,AE=BE,•△ACE生BFE(AAS),•CE=EF,AC=BF,•CF=2CE,又vzACB=zABC,CB是aADC的中线,•ac=ab=bd=bf,vzDBC=zA+zACB=zABF+zABC,
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