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微积A（一）期中考试试题答案一、填空题（315分e2

2

310e3x(x220x10) 3

xax2a2

dx xy 22二、选择题（315分 2. 3. 4. 5.4f(x)1sinx2

f(x)0

f(x

f(x)A0，由日中值定理f(2x)f(x)f(xf(A

f(2x)f(x)

f()x，这与f(x)有界（f(xf(x)M

f(2x)f(x)

f(2x)

f(x)2M三、计算题（856分11

limln

lim

(nn

nn且limnnlime

ex

exxe0 1lim(n!)n2limsinxxlimcosx1

1 1

xsinlimsinx

sinxxsinxx

1 x0 x0

xx,

xxlny1lnx，ln

xln

12 12xx(1ln所以f(x)yy xxxx(1ln xef(y)xef(y

f(y)dyey ef(

ef(

1 eyxef(y)f( xef(y)xef(y)f( x(1fd2y

(1f)xf dx x(1f

(1f)xf x(1f)x2(1f

f(1f。x2(1fdx6tdt2dt(6t2)dt,dyeysintdyeycostdtdy

eycos2

dt从而dd

eycosdddd(2y)(6t

et ed2又d

dyd d t

eyycost(2y)(6t2)eycost(y)(6t2)6(2 (2y)2(6t 6t d2d 1e2d2dt x0limf(x)1x0 x1limf(x,limf(x)x1

x2k(k1

f(x)，故x2k(k1, )为第二类无（1）1f(0)limf(x)f(0)1

g(x)x

x

g(x)

g(x)

g(x)

g(0)e0

x0

(x)

[g(x)ex]x[g(x)ex]

xg(x)g(x)(1xg(x)g(x)(1故f(x)

x0,x

lim

(x)

xg(x)g(x)g(x)ex(1xg(x)

g g

f f(xx0f(x在(,（14分aaan2

anan1bn1anan1bn1bn

于是a1a

{an}单调递减有下界b1，{bn}单调递增有上界a1，于是数列an和bn均敛，设lim

l,lim

m

an

nllmlm

n

n

F(xf(x)eg(xF(x在闭区间[ab上连续，在开区间(a内可导，又f(a)f(b),g(a)g(b)F(a)f(a)eg(a)f(b)eg(b)F(b)由罗尔定理，至少存在一点

(a,

使F'() ，f()eg(f()eg(g(0f(f()g(0证明：不妨设|x2|1，则|x1||x21|1|x2|11

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