刚体定轴转动

刚体定轴转动1第一页，共三十九页，2022年，8月28日§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律§5.3转动惯量的计算

§5.4转动定律应用举例§5.5定轴转动中的功能关系§5.6刚体定轴转动的角动量守恒定律§5.7旋进本章目录2第二页，共三十九页，2022年，8月28日CAB

F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：§5.1刚体的运动一.刚体（rigidbody）的概念t

t

+t才感受到力固体中弹性波的速度（k—劲度）若v，则k，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为刚体。3第三页，共三十九页，2022年，8月28日显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，般的质点系有所简化。通常v固体

103m/s，所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。实际的意义。但是它有4第四页，共三十九页，2022年，8月28日的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二.刚体的运动形式1.平动（translation）：刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。

2.转动（rotation）：转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。5第五页，共三十九页，2022年，8月28日▲定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。▲定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。

3.平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动：▲随基点O（可任选）的平动▲绕通过基点O的瞬时轴的定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。6第六页，共三十九页，2022年，8月28日··OO·OO·转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，例如：平动可以不同，动力学中，常选质心为基点。三.刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动（rotationaboutafixedpoint）（1）角量的描述为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢转动却相同，或和转向，引入角速度矢量7第七页，共三十九页，2022年，8月28日与转向成右螺旋关系。（不一定沿着瞬时轴）×基点OP瞬时轴刚体ω的方向沿瞬时轴，为反映的变化情况，引入角加速度矢量。转向8第八页，共三十九页，2022年，8月28日（2）线量和角量的关系vωrrP×基点O瞬时轴刚体旋转加速度向轴加速度

2.定轴转动（rotationaboutafixedaxis）转轴固定，。和和退化为代数量9第九页，共三十九页，2022年，8月28日

O刚体vP×rr定轴参考方向θz10第十页，共三十九页，2022年，8月28日§5.2刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成的质点系。令—转动惯量（对z轴）（rotationalinertia）vi刚体

O×ω,ri定轴zmiΔriFi11第十一页，共三十九页，2022年，8月28日vi刚体

O×ω,αri定轴zFiθimiΔri则即—转动定律其中定轴情况下，可不写下标z，记作：与牛顿第二定律相比，有：M

相应F，J

相应m

，相应a

。12第十二页，共三十九页，2022年，8月28日§5.3转动惯量的计算dmrm转轴

J由质量对轴的分布决定。演示质量分布改变对转动惯量的影响(KL013)一.常用的几种转动惯量表示式

RmO细圆环：13第十三页，共三十九页，2022年，8月28日RmC均匀圆盘：CAm均匀细杆：二.计算转动惯量的几条规律1.对同一轴J具有可叠加性14第十四页，共三十九页，2022年，8月28日

2.平行轴定理JCdmJC平行×3.对薄平板刚体的正交轴定理

ri

mi

Δx

z

yi

y

xiO即（证明见书P260—P262）如图15第十五页，共三十九页，2022年，8月28日[例]求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知圆盘

yx

z

圆盘

R

C

m

解：思考下图中的Jz如何求？zlDmCaazm16第十六页，共三十九页，2022年，8月28日§5.4转动定律应用举例定轴

O·Rthmv0=0绳（不可伸长）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑动，下落时间t=3s。求：轮对O轴J=？

解：动力学关系：对轮：′T=–TmgmaαRGTN·对m：运动学关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对17第十七页，共三十九页，2022年，8月28日(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●

h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入数据：正确。合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。18第十八页，共三十九页，2022年，8月28日§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累效应：

力矩的功：dzx·轴rF19第十九页，共三十九页，2022年，8月28日二.定轴转动动能定理令转动动能：刚体定轴转动动能定理：（飞轮储能）20第二十页，共三十九页，2022年，8月28日三.刚体的重力势能四.应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能×ChChiEp=0miΔ守恒定律仍成立。21第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日[例]已知：如图示，。θ··ω轴OCABl,ml/4求：杆下摆到角时，解：（杆+地球）系统，

(1)

(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度轴对杆作用力均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，22第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日应用质心运动

(3)

(4)

(5)

(6)BCθO·Al,mθNlNtNmgaCtaCllt·定理求轴力：23第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日由(3)(4)(5)(6)解得：βCθO··ωABl,mNlNtNlt24第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日§5.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：对轴：刚体：——刚体定轴转动的角动量定理25第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，M外z=0

时，，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪（KL029）转台车轮(KL017)演示角动量守恒：26第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消

TV角动量守恒定律(注3)27第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日滑冰运动员的旋转猫的下落（A）猫的下落（B）28第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日m(黏土块)

yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R[例]如图示，求：碰撞后的瞬刻盘

P转到x轴时盘解：m下落：(1)mPhv对（m+盘），碰撞中重力对O轴力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，=60系统角动量守恒：29第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日

(3)对（m+M+地球）系统，mmg·OMR令P、x重合时EP=0，则：

(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：

(4)只有重力作功，E守恒。（m+盘）角动量30第三十页，共三十九页，2022年，8月28日旋进：

§5.7旋进（进动，precession）如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个31第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日

p2

p1·×m2>m1

r2m1

r1

L2

L1

L

Oωz点的不平行于。若质量对转轴分布对称，下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称对转轴不对称，的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：质量则：则对轴上O32第三十二页，共三十九页，2022年，8月28日×MdL·mgθOω∥L从而产生旋进运动。玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，33第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日dΩLO旋进角速度：演示车轮旋进（KL023)TV旋进防止炮弹翻转（注2）34第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日▲回转效应产生附加力矩：

轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转dLMMdt=dL附加力附加力轴承附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。M左转弯的力矩

三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L35第三十五页，共三十九页，2022年，8月28日▲地球转轴的旋进，岁差随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。北极星3000年前小熊座现在小熊座12000年后天琴座（织女）T=25800年C1C2F1F2太阳赤道平面黄道平面地球北天极地轴L地球自转角动量（F1>F2

）M地球自转轴旋进36第三十六页，共三十九页，2022年，8月28日地轴旋进旋进周期25800年秋分点春分点西分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差（precession）岁差=恒星年太阳年=20分23秒北半球南半球黄道面赤道面太阳东37第三十七页，共三十九页，2022年，8月28日我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年）▲前汉（公元前206—23）刘歆发现岁差。▲晋朝（公元265—316）虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：391年有144个闰月。▲祖冲之（公元429—50