内蒙古自治区赤峰市内蒙古市第二中学2023年高三数学理月考试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市内蒙古市第二中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）A.

B.

C. D.参考答案：B2.双曲线﹣=1（a，b＞0）离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|=2，则双曲线方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，由双曲线定义可得a=1，再由离心率公式可得c，由a，b，c的关系，可得b的值，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：由∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，即|PF1|﹣|PF2|=|F2Q|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|F2Q|=2，可得a=1，由e==，可得c=，b==，则双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．3.已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≤2m2}，且A??RB，那么m的值可以是(

) A．1 B．0 C．﹣1 D．参考答案：B考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简求集合?RB={x|x＞2m2}，从而可得2m2＜2，从而确定答案即可．解答： 解：?RB={x|x＞2m2}，∵A??RB；∴2m2＜2；即m2＜1；故选：B．点评：本题考查了集合的运算与集合包含关系的应用，属于基础题．4.若从区间内随机取两个数，则两个数之比不小于的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则A． B．C． D．参考答案：C略6.下列各式中，值为的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：B解析：7.设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是---(

)

（A）相离

（B）相切

（C）相交

（D）随的变化而变化参考答案：C【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质；图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程;图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离.【试题分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，则圆的圆心到直线的距离，令，，易知其在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，又圆的半径为1，所以直线与圆相交，故答案为C.8.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(

) A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21参考答案：C考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．解答： 解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C点评：本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.若函数为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为（

）A.(－3,3)

B.C.

D.

参考答案：D10.设为虚数单位，若（，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.参考答案：13由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13.12.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：13.对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被G（X）替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2替代；②f（x）=x可被g（x）=1﹣替代的一个“替代区间”为[，]；③f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则e﹣2≤b≤2；④f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D2），则存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；其中真命题的有

．参考答案：①②③考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：命题①直接由替代的定义得出为真命题；命题②|f（x）﹣g（x）|=，根据导数判断函数x+在区间上的最值，从而可说明|f（x）﹣g（x）|＜1，从而可判断该命题正确；命题③，根据替代的定义，|f（x）﹣g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根据导数判断函数lnx﹣x+b在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出函数lnx﹣x+b的值域，该值域应为区间[﹣1，1]的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题④可先找出一个D1∩D2区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）﹣g（x）|＞1，从而便可判断出该命题错误，这样便可最后找出所有的真命题．解答： 解：①∵|f（x）﹣g（x）|=＜1；f（x）可被g（x）替代；∴该命题为真命题；②|f（x）﹣g（x）|=；设h（x）=，h′（x）=；∴时，h′（x）＜0，x∈（]时，h′（x）＞0；∴是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；∴|f（x）﹣g（x）|＜1；∴f（x）可被g（x）替代的一个替代区间为[]；∴该命题是真命题；③由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=；∵x∈[1，e]；∴h′（x）≤0；∴h（x）在[1，e]上单调递减；h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b；1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1；又﹣1≤h（x）≤1；∴；∴e﹣2≤b≤2；∴该命题为真命题；④1）若a＞0，解ax2+x＞0得，x，或x＞0；可取D1=（0，+∞），D2=R；∴D1∩D2=（0，+∞）；可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π＞1；∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；2）若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x；∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R；∴D1∩D2=（﹣∞，0）；取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1；∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；∴该命题为假命题；∴真命题的有：①②③．故答案为：①②③．点评：考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可．14.（不等式选做题）函数的值域为

。参考答案：[2，＋∞)略15.在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意，具有性质：①；

②；③，则函数的最小值为

.参考答案：3略16.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心，其中；③函数的最小正周期为1；

④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是

．参考答案：①③17.计算定积分___________。参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.参考答案：（1）证明：，分别为，的中点，

2分又平面，平面，平面

4分（2）平面，平面平面，.四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，,，，，，，，，.，，分别为，，的中点，，，，，，设为平面的一个法向量，则,即，令，得.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以.

10分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）

12分19.已知数列是递增的等比数列，满足，且是、的等差中项，数列满足，其前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1），；（2）.（2）∵，∴.不等式化为，∵，∴对一切恒成立.而，当且仅当即时等号成立，∴.考点：数列.20.已知数列{an}前n项的和为Sn且,.（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：当时,.参考答案：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，，当时，从而21.(本题满分14分)已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6.

（1）求椭圆的标准方程及离心率；

（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．参考答案：解：（Ⅰ）解：由题设得

………………2分

解得：，……3分故的方程为.……5分

离心率

…6分（2）直线的方程为，……7分

设点关于直线对称的点为，则（联立方程正确，可得分至8分）所以点的坐标为

………………9分∵，，……10分的最小值为

……………11分直线