2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）教案- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质第1课时教案一、内容和内容解析1.内容根据实际问题所蕴含的不等关系抽象不等式；两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；重要不等式a2+b2≥2ab2.内容解析现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，它们反映在数量关系上，就是相等与不等.实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式.与用等式表示相等关系不同的是，有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”“不低于”“至多”“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示.两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础.这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，使实数大小关系的比较有了抓手.重要不等式a2+b2≥2ab是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般性与特殊性获得“=”成立的条件.证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解决不等式问题中的应用价值.结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用.二、目标和目标解析1.目标（1）会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；（2）理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系；（3）了解重要不等式a2+b2≥2ab及其发现和证明的方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够在生活问题、数学问题等情境中，发现其中所蕴含的不等关系，并将其符号化，从而用不等式表达.（2）学生能够在比较大小的问题情境中，发现并运用两个实数大小关系的基本事实比较“式的大小关系”，体会这个基本事实能够使实数的运算参与到实数的大小比较中.（3）学生能够从赵爽弦图中，抽象不等关系，并用不等a2+b2≥2ab表达.通过观察图形理解“=”成立的条件和“当且仅当”的含义，并能够运用完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明.通过了解赵爽弦图，体验数学文化，增强爱国情怀和民族自豪感.三、教学问题诊断分析学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题，不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达，这是本节课的难点之一.教学中，教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用.两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难.教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用.学生对理解重要不等式a2+b2≥2ab中的等号成立的条件存在困难.第一,学生由赵爽弦图发现等号成立存在困难，教学中采用动态演示的方法，帮助学生观察图形，发现存在相等的情况；第二,学生理解“当且仅当”的含义存在困难，教学中借助动态图形和证明过程，帮助学生理解此含义.本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式.四、教学过程设计（一）从不等关系中抽象不等式导入语：代数的学习，我们经历了“由数到式”的学习过程，“式”有等式和不等式。在“式”的研究基础上，我们可以解方程（组）与解一元一次不等式（组），我们还了解到一次函数与方程、不等式之间具有内在联系.那么解不等式（组）的理论依据是什么？方程（组）、不等式与函数之间究竟存在怎样的联系？本单元我们将在初中学习的基础上深入的研究.首先我们先来学习等式性质和不等式性质.问题1：提到相等关系与不等关系，我们不禁想到现实世界和日常生活中，有大量的相等关系与不等关系，你能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？预设方案：学生举一些生活中的例子，并用等式与不等式进行表达，教师从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述.追问1：不等式中的不等关系有哪些？用文字语言如何表述？师生活动：学生总结，有“>”，表述为“大于”；有“<”，表述为“小于”；有“≥”，表述为“大于或等于”或“不小于”；有“≤”表述为“小于或等于”或“不大于”.追问2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h.（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边.（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.预设方案：问题（3）（4）是几何问题，条件中没有给出符号，有些学生可能不会表示.师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确的，由其他同学更正.问题（3）和（4）可先引导学生作图，并标记符号，然后用数学语言表达.追问3：在表达不等关系时，你经历了怎样的思考过程？师生活动：学生表述，经历了从实际问题中抽象不等关系，然后用不等式来表达的过程.教师强调此过程是数学抽象的过程，即从问题中抽象出数学模型的过程.设计意图：创设运用不等式表示问题的情境，使学生意识到不等式（组）在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础.采用学生自主提出问题、解决问题的学习方式，提高学生的“四能”.（二）研究不等式性质的必要性问题2：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？预设方案：学生分析数量关系，并用不等式表达.追问：如何解不等式，就要类比如何解等式（即解方程），解方程的依据是什么？师生活动：学生回忆方程解法，一元一次方程依据等式的性质；一元二次方程运用求根公式，或配方的方法，教师指出二次方程求解过程归根到底是求方程x2=a的根，即依据平方根的定义求解，所以解方程的依据为等式的性质和运算的概念.解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质.设计意图：此问题使学生在问题解决中产生矛盾，调动了学生探究知识的内趋力.同时将不等式与等式进行对比，合理地引出不等式性质研究的必要性.（三）探究两个实数大小关系的基本事实问题3：若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式（实数）的大小关系，如何比较两个式的大小关系呢？预设方案一：学生能联想到将两个式（实数）作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论：追问：为什么与0进行比较？此方法有何优点？师生活动：教师引导学生体会0是正数与负数的分界点，是实数比较大小的“标杆”.并引导学生体会此方法使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，能够使得大小的比较有抓手.教师点明这是“两个实数大小关系的基本事实”.预设方案二：学生联想到利用实数的几何意义，即将两个实数在数轴上表示出来，即可比较其大小关系.师生活动：教师评价此方法，可以看成确定实数之间大小关系的几何规则.这个规则尽管直观，如果是“式”的比较，无法找到具体位置，所以此规则并不实用，需要从代数角度找到比较大小的方法.（见预设方案一）设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，并体会此方法使数学运算参与大小比较中，为问题解决提供了工具.（四）两个实数大小关系的基本事实的简单应用问题4：比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）大小.预设方案：学生能够较容易地运用两个实数大小关系的基本事实.师生活动：学生分析一般步骤，若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.因为（x+2）（x+3）-（x+1）（x+4）=（x2+5x+6）-（x2+5x+4）=2>0，所以（x+2）（x+3）>（x+1）（x+4）设计意图：此问题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，体会此方法在比较大小中的应用.问题5：你能用四个全等的直角三角形，拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？你能在这个图中找出一些相等和不等关系吗？预设方案：学生能够拼出图形，并能发现正方形面积和四个三角形面积的和存在不等关系.师生活动：以小组为单位，开展拼图活动.教师介绍这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.

设计意图：此问题由学生亲自动手操作拼图，能帮助学生深入分析图形，发现不等关系，感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程.通过学生从独立想象，到观察图形动态演示，发现a2+b2=2ab可以成立，培养学生直观想象的素养.通过追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础.（五）归纳小结，布置作业问题6：本节课我们主要学习了两个实数大小关系的基本事实，为什么要研究这个基本事实？这个基本事实有什么作用？师生活动：学生通过梳理本节课的内容，能想起研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题.两个实数大小关系的基本事实使数学运算参与问题解决之中，可以比较两个实数的大小.作业布置：教科书习题2.1第2，3，10，12题.五、目标检测设计1.用不等式或不