5.3.5随机事件的独立性练习题- 高中数学人教版B版（2019）必修第二册

9/9随机事件的独立性一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为()A．22.5% B．15.5%C．15.3% D．12.4%2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不是相互独立事件3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,2)4．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为eq\f(2,5)和eq\f(3,5)，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为()A．eq\f(2,15) B．eq\f(2,5)C．eq\f(19,25) D．eq\f(8,15)5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq\f(1,2)，乙能解决的概率是eq\f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是互相独立的，求灯亮的概率．10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)12．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝______；当A，B互斥时，P(A＋B)＝______.14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用(万元)90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为()A．22.5% B．15.5%C．15.3% D．12.4%D[四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A，则P(eq\x\to(A))＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%.]2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不是相互独立事件D[根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,2)A[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).]4．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为eq\f(2,5)和eq\f(3,5)，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为()A．eq\f(2,15) B．eq\f(2,5)C．eq\f(19,25) D．eq\f(8,15)C[两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(19,25).]5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)D[由P(Aeq\x\to(B))＝P(Beq\x\to(A))，得P(A)P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).]二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．eq\f(2,3)[二人均通过的概率为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴至多有一人通过的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．0.65[由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.]8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq\f(1,2)，乙能解决的概率是eq\f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．eq\f(1,3)eq\f(2,3)[甲、乙两人都未能解决的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是互相独立的，求灯亮的概率．[解]记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件eq\x\to(E)，则P(eq\x\to(E))＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，则灯亮的概率为P＝1－P(eq\x\to(E)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝1－P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(C))·P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．[解]设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，eq\x\to(A)与B，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件Aeq\x\to(B)发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq\x\to(A)B发生)．根据题意，事件Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P(eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B)))＋P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＋P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)A[由题意知逆时针方向跳的概率为eq\f(2,3)，顺时针方向跳的概率为eq\f(1,3)，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；第二条：按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，所以跳三次之后停在A上的概率为P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).]12．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”CD[在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(1,4)，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件，故选CD．]13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝______；当A，B互斥时，P(A＋B)＝______.0.650.8[当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.]14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为_______