地球物理反演基础-课件25章

第二章数学知识基础本章主要提供一些求解线性反演问题所需的必备数学知识。因此本章的内容既不完备也不谨慎，只是希望能从数学上对观测数据的性质有深刻的理解。主要内容有：一、映射与模型空间

二、线性方程组求解

线性映射的基本方程是：一般说来任何实验都只能得到有限的数据。也就是说，观测数据在位置xj处进行采样，因而数据公式成为：

j=1,2,…..n或

j=1,2,…..n(2.1)

为第j个数据，(y)为第j个核函数,N为观测数据总数m(y)为模型一个基本的问题是“只知道有限个，可得到模型m(y)的什么结论？”第一节

映射与模型空间

模型空间：模型空间是所有可能函数的集合。为了对这些函数进行操作，因此要求模型空间是一个向量空间（vectorspace）。向量空间对反演问题的求解有很大的帮助。模型空间的每一个元素都是一个向量。尽管模型空间的特征与常规欧拉空间（Euclidean）一样，但与常规欧拉空间的向量不尽相同。模型空间属于Hilbert(希尔伯特)空间。自然模型空间的任何一个元素作为向量时都认为是特定方向上的一个点。有了方向的概念，则进一步可以有正交（Othogonality）的概念。可以定义线性依赖关系并定义一组模型空间的正交，从而所有函数都可以写成这些向量基的线性形式。同时也可以测量长度。为了建立向量空间，首先要定义内积和范数，前者确定两个向量是否正交，后者确定向量的长度。

第一节

映射与模型空间设f(x)和g(x)为定义在[0，a]上的两个函数，f和g的内积定义为：

(2.2)(f,g)是内积形式的缩写。若内积为零，则称两个函数是互相垂直的。即：

N维欧拉空间两个向量和的内积为：当=90时为垂直，此时内积函数之间的正交是非常普遍的，例如定义[0，a]上函数f(x)的Fourier表示，有下式：

（2.3）

第一节

映射与模型空间第一节

映射与模型空间函数系数在[0，a]上是正交的，即：（2.4）式中的常数不等于单位值，若为单位值，则这些函数称为（标准）单位正交（Orthonormal）。

模（norm）模型空间里长度的概念是非常重要的，任何函数的长度可用“模”来衡量。“模”的选择有多种，这里主要使用两种模，即：

l1模：

（2.5）

l2模

（2.6）

显然对于不同的模，同一个函数f(x)有不同的长度。例如定义在[0,1]上的函数f(x)=x，其l1模为1/2，l2模为。在简介里我们提到多个可能的模型产生同样的数据，如何选择特定的模型呢？首先必须引入模，然后寻找具有最小或最大模并仍符合观测数据的模型。反演问题求解的一个重要方面是对特定的问题选择适当的模。什么是适当的模取决于我们寻找的解的性质。不同的模获得的模型具有不同的特征，主要体现在所建立模型是否为物理参数数值最小、振荡、平滑或分段连续。例如层状介质的波阻抗就是分段连续的。关于这个问题的回答由研究人员根据具体的地球物理反演问题来确定。对于大多数地球物理反演问题，取决于用观测数据所要解决的地质问题。第一节

映射与模型空间第一节

映射与模型空间与欧拉向量空间相似，n维向量空间的l1与

l2模为：（2.7）（2.8）例如向量f=(1,1,0)和g=（0，1.1414，0）的模为：可以看到尽管两个向量的l2模是一样的（或说能量相同），但只有一个脉冲的向量的l1模最小。这在反演地震记录获得对应于层状介质模型的反射率（系数）函数时十分有用，目前地震反演中的稀疏脉冲反演就是根据l1模来编制算法的。

基（Basis）:定义内积和模以后，可在模型空间产生一组基。若基是完备的，则空间的任何函数都可用这组基的线性组合来表示。也就是说若表示第i个基函数，则任意函数f(x)可表示为：

（2.9）特例：定义在[0,a]上的任何函数都可用公式（2.3）表示。这里的基函数是简单的正弦函数。基函数的选择不是唯一的，有无穷多个选择。但是最方便的基是单位正交基，即（，=1。我们来计算（2.9）所示函数与的内积，有：第一节

映射与模型空间第一节

映射与模型空间

所以有：这就是说是f(x)在基向量上的投影，或等价地说，f(x)在方向的长度，这是几何学上内积的定义。模型函数m(x)和的内积，产生

m(x)在方向的投影。如我们的公式：

j=1….n(2.10)可知每个观测数据都是模型m在核函数上的投影。值得注意的是模型空间的维数是无限的。这个事实可由函数的Fourier表示法（公式2.3）得知。也就是说为了唯一确定f(x)，需要无穷多个Cj，假设公式（2.10）中核函数(x)为Fourier基函数，则观测数据就是Fourier系数。N个数据表示已知N个Fourier展开项的系数。这是试验所提供的所有模型信息，显然不足以确定模型函数。在此举一个欧拉空间的例子，考虑三维空间的向量模型：，定义常规的基：实验数据：

就像用一束光从方向照射，然后分别从，方向测量影子的长度，问题是：我们对=(m1,m2,m3)知道多少？

第一节

映射与模型空间第一节

映射与模型空间假如m1和m2是精确已知，但是不知道m3。所以，任何

=(2,3,x),，满足观测数据即实验数据提供了三维空间模型在二维子空间的信息，如下图所示：

D∥是核函数，（,,0）是拓展形成的。是形成的空间。若将模型分为两部分：

(2.11)

式中∈D∥,

∈

则被观测数据完全确定，而则无任何信息。实际上对该问题来说为零化子。第一节

映射与模型空间上面的问题对函数空间也同样成立，(x)拓展成模型子空间如下图：第二节线性方程组求解（本节内容可参考各类计算数学教材，这里不讲。）第三章线性问题最小平方反演

－广义矩阵法

线性问题可采用如下矩阵形式表示：求:其中为观测数据，为所求的模型（本书中若不加特别说明不带转置符号的向量为列向量）。对于精确数据，有由于实验误差，Gauss（1809）指出，实际数据不能精确拟合，必然存在差值，即：

所以求唯一解的最好方法是使平方和最小，从而有：对求偏导数，并令之为零，得：合并，写成矩阵形式为：

――正则方程

称为非约束最小平方解，统计学上称为的无偏估算。

注：严格来讲，G不是方阵，通常意义下的逆并不存在，实际上是G的广义逆（最小平方）。的计算关键在于的求取，可看成是一方阵，求逆的方法较多，这里主要介绍一下奇异值分解法(SVD)。(其他方法有Gramer法则，Gauss消去法，Gauss-Jordan法，LU(三角形)分解法等，请参考相关数学教材。)。设G为n*n或n*p的矩阵，(n为行数，p为列数)，其中行数表示观测数据数目，列数表示模型参数数目。根据奇异值分解方法有：U和V为酉矩阵，满足：

为n*p的特征向量，对应着数据空间

为p*p的特征向量，对应着模型参数空间是一的对角阵，包含最多r个G的非零特征值

()

中对角线项

()称为G的奇异值，这个分解称为G的奇异值（或谱）分解，简写成SVD。奇异值分解主要用来分析数学上的稳健――数值计算的稳定性。在地球物理反演中还能提供模型状态及观测数据特征信息，可进行模型解析和协方差研究。

若一个矩阵的特征值很小，则称该矩阵为病态的。对于线性问题d=Gm，最小平方解为

用G的SVD表示上述反演方程：

因为所以说明：上式消去了中关于观测数据空间的信息，只剩下与模型参数有关的信息。因而反演问题实际上是求取观测数据中有关模型参数的确定信息。

所以（因为）从而也就是说（广义逆）

得或第四章约束线性最小平方反演主要内容一、带先验信息的反演二、带有平滑度措施的反演三、带有平滑度措施反演的几何解释一、带先验信息的反演：

Dm=约束方程

D为除对角线元素外都是零的对角阵，与m作用得到包含在向量h中的m的先验值，而希望向偏量(与无偏估算相对应)

求解过程：

lim=对m求偏导数，并令其为零，则有：

标准方程若D为单位阵，则：

约束解为：

上式为约束线性反演公式，该解称为：偏置线性估算技术。它的主要有点是对于存在观测误差的超定或欠定问题，均能从无限多个（似是而非）解中获得单一解。单但其合理性则取决于约束条件（当然合理并不意味着与实际模型一致）。例：地震数据折射数据的直线约束拟合：已知表示地震折射波至，试用直线（折射波时距曲线）来拟合旅行时与炮检距的关系，并假定拟合必须经过点（注意“拟合必须经过点”是一个已知条件而非约束条件。反演结果不一定满足约束条件，但必定满足已知条件）。

解：所以：Dm-h=0其中：

所以-Lagrange算子

二、带有平滑度措施的反演

对于有限不精确观测数据集，最有效的反演解法是强制要求解是平滑的。对于多解性问题，尤其是具有很小奇异值（解不稳定）的反演问题，处理的基本思想是：有怀疑就平滑非唯一性问题的补救方法

1、公式化：A：期望模型参数随位置缓慢变化，获得物理参数上平滑的模型（显然各模型参数应属于同一类物理属性），则选择相邻两个参数模型之间差最小；

D为(l=p-1)阶，h为维。B：模型参数不随位置缓慢变化：

这实际上是无已知条件的偏置估算形式，但可有效的衰减解的长度，从而得到稳定的反演过程。这样原反演问题变成了约束反演问题，相当于增加了下式的平方度量约束：

（解的平方度）

平方度量的加入，使得多解性反演问题变成在不完整、不一致、不充足的观测数据条件下，在所有解中，根据找出最平滑的解。

从数学上讲，等效于在或更广义的下求的极小值，式中H=为最大允许剩余错配值。小结为：2、求解对求导有：

标准方程

A，最平滑解：(D为一阶差分算子)

B，D=I时有：

实际上就是所共知的阻尼最小平方解，这与下面的C在数学上是一致的。C，在矩阵的本征值上附加了一个正的常数，用于改善反演条件(Marquaudt(1970)解法)。回顾非约束最小平方解：即对角矩阵用置换，这样的结果与B的情况稍有不同。

而阻尼最小平方法，可解的在本征值上加一个小偏差

已知G=，对应的最小平方解为：

又

从而

从而产生约束解为：

注意上面的推导并没有在向量d中添加任何零值，因此，c与a，b稍有差别，在应用上，前面的算法，a，b更有适应性，因为c要求出。但在结果分析中c更清晰。

3.带有平滑度措施反演的几何解释：

用下图表示和，图中等值线为常数和的l维超平面，和的约束条件的解就在和两条线的相切点C。值的选取非常重要，当然也很重要。由于是不定的，一般计算出多个的方法选择一个解。

的结果，再用统计ABCC’q1=q0q1=qTq1=aq2=rq2=r’图在函数空间中求解轨迹的二维示意图本章回顾：－观测数据－n×p的矩阵，由核函数离散而来（称为设计矩阵或数据核）－模型参量精确解：

非约束最小平方解：（或称无偏估算）增加约束方程有：

式中若，则为约束线性最小平方解法，使向偏置;若为一阶差分算子，即h=[00….0]的转置矩阵则为最平滑解，若D=I，h=[0]，则(最小平方解)

即为阻尼最小平方解对于Marquaudt解，在本征值上加一个小偏差G=

从而

从而：产生约束解为：

最小二乘法

第五章

线性反演误差分析实验误差是如何转换成模型误差的？根据统计结果来分析，反演理论不仅提供了参数估计，还讨论反演用的“优度”。

主要内容一、观测误差的处理二、拟合优度三、参数解析矩阵

四、参数估算的误差边界

一、观测误差的处理假定n个标准数据误差，是零均值的高斯分布，并且是统计独立的，则定义一个的对角加权矩阵W则约束反演问题成为：

一、观测误差的处理当D＝I时，

（式中仅为一个值）当然对于

，最好采用待定因子的对角矩阵。式中，用，则与Bayesian估算形式相当。注：B和为对角阵，转置与本身相等，左乘与右乘相等。

二、拟合优度1、若观测数据相对于它的期望值呈正态分布，并已知其有不确定性（实验误差），则由下式定义的统计参数q评估观测数据与期望数据之间的拟合度：

j＝1,p

或加权简化为：对于n个独立的观测值和p个独立的参数，q具有呈分布且具有（n－p）度自由度。二、拟合优度q的期望值是n（统计特性），根据q值来确定一个模型是可接受或排除：若q满足2、若实验误差不可知，无偏差估计的由下式给出：则解的优度的另一种预测方法为：二、拟合优度对于加权解有：

此时的期望值为“1.0”。3、具有个独立约束方程解的自由度为：，并用来代替前面的

三、参数解析矩阵1、非约束解（最小平方）：用

表示：把括号里的量用表示，在估算中用作广义逆，右乘设计矩阵（或数据核）得解析矩阵：即解唯一确定（精确）。：三、参数解析矩阵

的维数为（r为问题的非零本征值数目）。若，则所有模型参数都被唯一确定。中的行与单位矩阵行的偏差一般认为是有关模型参数解的优劣尺度。2、阻尼解：

所以解不可能是完美的解。

三、参数解析矩阵3、带先验的数据反演

或用分块矩阵（增广矩阵）：则。(为增广矩阵的分量)。

因此这个解也是完美的，虽然在形式上与相类似。但增加的数据约束可能是某种程度的虚假信息。四、参数估算的误差边界

<1>参数协方差矩阵

利用协方差矩阵将数据误差转换成参数（模型）误差（Menke，1984）设最小平方解为－反演中使用的广义逆（算子）。即是的模中线性变换。则的数学期望为：

假设试验数据互不相关，且具有等方差，则根据误差传递规律，有：因为，所以上式成立。对marquardt型阻尼最小平方解：协方差矩阵为：

四、参数估算的误差边界四、参数估算的误差边界对于约束解（